tailieunhanh - CÁC ĐỊNH LÝ HÌNH PHẲNG

CÁC ĐỊNH LÝ HÌNH PHẲNG (tt) Định lý Ptolemy và Bất đẳng thức Ptolemy Định lý Ptolemy và bất đẳng thức Ptolemy là một trong những định lý hay và thú vị nhất của hình học phẳng sơ cấp. Có nhiều bài viết và chuyên đề viết về vấn đề này, vì thế trong phần này tôi chỉ trình bày định lý chính và ứng dụng trong việc giải toán. Các mở rộng của định lý này xin đọc trong các tài liệu tham khảo. . | CÁC ĐỊNH LÝ HÌNH PHẲNG tt Định lý Ptolemy và Bất đẳng thức Ptolemy Định lý Ptolemy và bất đẳng thức Ptolemy là một trong những định lý hay và thú vị nhất của hình học phẳng sơ cấp. Có nhiều bài viết và chuyên đề viết về vấn đề này vì thế trong phần này tôi chỉ trình bày định lý chính và ứng dụng trong việc giải toán. Các mở rộng của định lý này xin đọc trong các tài liệu tham khảo. Bài toán 7a Định lý Ptolemy . Cho tứ giác lồi ABCD. Khi đó ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi Hướng dẫn. Định lý này có nhiếu cách chứng minh phần này trình bày cách chứng minh đơn giản và dễ hiểu nhất. Trên đoạn thẳng AC lấy điểm E sao cho ZABE z DBC. Suy ra AABE - A DBC và A CBE - A DBA Từ đó ta có và Suy ra @ Định lý Ptolemy có phát biểu khá đơn giản tuy nhiên có nhiều ứng dụng trong việc giải toán sau đây chúng ta áp dụng định lý Ptolemy để chứng minh một số định lý hình học khác. Bài toán . Chứng minh rằng sin a P sina cosp cosa sinfí với a fi a p là các góc nhọn . Hướng dẫn. Dựng đường tròn đường kính AC và lấy B D ở hai nửa đường tròn khác nhau sao cho ZBAC a và z DAC p . Khi đó sina cosp cosa sinp BC AC . AD AC AB AC . CD AC AC2 AC2 BD AC sinBAD sin a p @ Bài toán . Hệ thức Feuerbach Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn khi đó 3 Hướng dẫn Ta có X SACD 1 sin D SABD 1 AB. B SBCD 1 C yố ACD 2 ABD 2 BCD 2 o Suy ra A D 3 BD2 . sin D CD2 sin A AD2 CBCD sin C A ADCB. sin C Áp dụng định lý sin ta có sinA sinD sinC sinD BD AC và áp dụng Ptolemy suy ra điều cần chứng minh. Bài toán . Định lý Carnot Trong tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn O bán kính R. Gọi x y z là cỏc khoảng cách từ O đến BC CA AB tương ứng. Khi đó x y z R r trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Hướng dẫn. Gọi D E F lần lượt là trung điểm các cạnh BC CA AB tương ứng. Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác