tailieunhanh - Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Tài liệu học tập môn Toán | Chương 3. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ÚNG DỤNG 51. NGUYÊN HÀM 5 2. MỘT SÓ PHUONG PHÁP TlM NGUYÊN HÃM S3. TÍCHPHAN 5 4. MỘT SÕ PHUONG PHÁP TÍNH TÍCH PHẤN A. TRỌNG TÂNI KIÉN THỨC I. NGUYÊN HÀM 1. Khái niệm nguyên hàm a Định nghĩa. Cho hàm số x liên tục trên khoảng I. Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của z trên I nếu F x f x với mọi X thuộc I. b Định lí. Giả sử hàm số F x là một nguyên hàm cùa hàm số f x trên khoảng I. Khi đó Với mỗi hằng số c hàm so G x F x 4- c cũng là một nguyên hàm của f x trên I. Ngược lại với mỗi nguyên hàm G x của f x trên I thì tồn tại hằng số c sao cho G x F x c với mọi X thuộc I. Như vậy Nếu hàm số có một nguyên hàm thì nó có vô số nguyên hàm. Tuy nhiên hai nguyên hàm của cùng một hàm số chỉ saj khác nhau một hằng số. Người ta dùng kí hiệu J f x dx để chỉ tất cả các nguyên hàm của f x . Nếu F x là một nguyên hàm cùa f x thì tất cả các nguyên hàm của f x là tập hợp J f x dx F x c . Ta có mối quan hệ sau đây J f x dx F x c F x f x dF x f x dx. 2. Nguyên hàm của một số hàm sổ thường gặp 1. Odx c f dx X c 2. í x dx - c a 1 d J J a 1 162 3. lnM ơ J X 4. Với k là hằng số khác 0 coskx sin kxdx --------F c k c J ek cdx - C 5. a f tan X c J cos2 X sin kx _ cos kxdx ỵ-1- c d fàcdx - - ơ 0 a l J In a b f- - C-cotx C. J sin2 X J 3. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Nếu f x và g x là hai hàm số liên tục trên I thì a f ỉ x 9 x dx J f x dx J g x dx b f kf x dx kj f x dx ởđây k là số thực khác 0. II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1. Phương pháp đổi biến số Cho hàm số u u x có đạo hàm liên tục trên I và hàm số y ĩí liên tục sao cho y f xác định trên I. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của tứclà f ù du F ù c thì J u a ĩz a ưx F u a c. 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần Nếu u V lả hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I thì u x v x dx u x v x J v x u x dx hay Ị udv uv 1 vdu . III. TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân Định nghĩa. Cho hàm số f liên tục trên I và a b là hai số bất kì thuộc ỉ. Nếu F là một nguyên hàm của f trên I thì hiệu số F ờ F ữ