tailieunhanh - Phương pháp hình học chứng minh bất đẳng thức

Bất đẳng thức là một trong những phần quan trọng của chương trình phổ thông. Để chứng minh bất đẳng thức ta có nhiều phương pháp, như áp dụng tam thức bậc hai | PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC CHỨNG MINH BAT ĐANG thức PHAN HUY KHẢI Viện Toán học Bất đẳng thức là một trong những phần quan trọng của chương trình phổ thông. Để chứng minh bất đẳng thức ta có nhiều phương pháp như áp dụng tam thức bậc hai dùng lượng giác sử dụng các bất đẳng thức đặc biệt bất đẳng thức Cô-si Bu-nhi-a-côp-xki hoặc dùng đạo hàm. Trong bài này chúng tôi xin giới thiệu thêm một phương pháp đặc sắc để chứng minh bất đẳng thức - phương pháp dùng hình học. Các bạn sẽ làm quen với phương pháp ấy qua một sô thí dụ sau đây Thí dụ 1 Cho a b c 0. Chứng minh ja2-ylĩab b2 - ibc c2 Ịa2 -ylĩ yỊĩac c2. Giải. Đặt OA a OB b oc c sao cho Ấỡầ 45 BÓC 30 xem hình 1 . Hình 1 Áp dụng định lí hàm sô côsin ta có AB - yỊa2 lĩab b2 BC b2-J3bc c2 2_ự3 Dễ dàng thấy cos75 nên cũng theo định lí hàm số côsin thì AC ỵa2 - 2 - 3ac c2 . Rõ ràng AB BC AC nên suy ra đpcm. Ta xem khi nào đẳng thức xảy ra. Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A B c thẳng hàng tức là khi OAB OBC OAC abi ỉ be 1 ac 2 -fa T-acsin75 --------- l 4 4 2 4 c b . 1 a c Vậy 1 là điều kiện để có dấu bằng trong bất đẳng thức đã cho. Thí dụ 2 Cho a b c d là bốn số thực thoả mãn các điều kiện a b ỉ 2 a b và c d 36 12 c d . Chứng minh 72 -1 6 a - c 2 b - d 2 72 1 6. Giải. Từ giả thiết ta có a-1 2 ồ-l 2 1 và c-6 2 J-6 2 36 2 Như vậy nếu trong mặt phẳng toạ độ xét các điểm M a ti N c đ trong đó a b c d thoả mãn điều kiện đầu bài tức là thoả mãn 2 thì M a ti N c d tương ứng nằm ttên các đường tròn tâm ơịÍI 1 bán kính 1 và tâm ơ2 6 6 bán kính 6. Bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau 72 -1 3 ka-c 2 b-d 2 72 1 3 x 5V2 - 7 MN 5 V2 7. Nối o với ỠJ ơ2 chú ý rằng o Oị 02 thẳng hàng cắt đường ưòn bé tại Mị M2 và 22 đường tròn lớn tại Nx N2 xem hình 2 . Ta nhận thấy M N2 M2Nị tương ứng là các khoảng cách xa nhất và gần nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn. Như vậy với mọi cặp điểm M N trên hai đường tròn ta có Do 00x - - 6 Ỉ2 nên ta có MXN2 ON2 - OMị 6V2 6 - V2 -1 5j2 7. Tương tự M2Nị ONx -OM2 6-72-6 - 72 1 .