tailieunhanh - Đề thi học sinh giỏi cấp quốc gia Toán

Nhằm giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập những kiến thức cơ bản, kỹ năng giải các bài tập Toán nhanh nhất và chuẩn bị cho kì thi sắp tới tốt hơn. Hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán học cấp quốc gia. | ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN TOÁN Bảng A Ngày thi thứ nhất Bài 1 Cho c là một số thực dương . Dãy số xn n 0 1 2 . được xây dựng theo cách sau xn 1 Vc ylc n n 0 1 2 . nếu các biểu thức dưới căn là không âm . Tìm tất cả các giá trị của c đề với mọi giá trị ban đầu x0 e 0 c dãy xn được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn lim xn khi n n. Bài 2 Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn O 1 fj và O 2 r 2 . Trên đường tròn 01 r1 lấy một điểm M 1 và trên đường tròn O 2 r2 lấy một điểm M2 sao cho đường thẳng 01M1 cắt đường thẳng O2 M2 tại một điểm Q. Cho M1 chuyển động trên đường tròn 01 r1 M2 chuyển động trên đường tròn O 2 r 2 cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như nhau . 1 Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng Mj M2. 2 Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M QM2 luôn đi qua một điểm cố định . Bài 3 Cho đa thức P x x3 153x2 - 111x 38 1 Chứng minh rằng trong đoạn 1 3 2000 tồn tại ít nhất 9 số nguyên dương a sao cho P a chia hết cho 3 2000 2 Hỏi trong đoạn 1 3 2000 có tất cả bao nhiêu số nguyên dương a mà P a chia hết cho 3 2000 ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000 MÔN TOÁN Bảng A Ngày thi thứ hai Bài 4 Cho trước góc a với 0 a n 1 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tam thức bậc hai dạng f x x2 ax b a b là số thực sao cho với mọi n 2 đa thức P n x x n sina - xsin na sin n-1 a chia hết cho f x 2 Chứng minh rằng không tồn tại nhị thức bậc nhất dạng g x x c c là số thực sao cho với mọi n 2 đa thức P n x chia hết cho g x Bài 5 Tìm tất cả các số tự nhiên n 3 sao cho tồn tại n điểm trong không gian thoả mãn đồng thời các các tính chất sau đây a Không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng . b Không có bốn điểm nào trong chúng cùng nằm trên một đường tròn c Tất các các đường trong đi qua ba điểm trong chúng đểu có bán kính bằng nhau. Bài 6 Với mỗi đa thức hệ số thực P x kí hiệu Ap là tập hợp các số thực x sao cho P x 0 . Tìm số phần tử nhiều nhất có thể có của Ap khi P x thuộc tập hợp các đa thức có hệ số thực với bậc ít nhất là 1 và thoả .