tailieunhanh - Một số bài toán giải bằng định lý Lagrange

Bài toán 1: Cho f(x) xác định và có đạo hàm bậc hai liên tục và không đồng nhất bằng 0 trên bất kỳ đoạn nào của R. Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng ax + by + c = 0 tại 3 điểm phân biệt. Chứng minh rằng xo thuộc R sao cho f'(xo) = 0 và f'(x) đổi dấu qua x = xo | Trường THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh Bùi Văn Đắc MỘT số BÀI TOÁN Được GIẢI BANG ĐỊNH LÍ LAGRANGE Bài toán 1 Cho f x xác định và có đạo hàm bậc hai liên tục và không đổng nhất bằng 0 trên bất kỳ đoạn nào của R. Biết rằng đổ thị hàm số y f x cắt đường thẳng ax by c 0 tại 3 điểm phân biệt. CMR tổn tại x0 G R sao cho f x0 0 và f x đổi dấu qua x x . LG Vì đường thẳng ax by c 0 cắt đổ thị y f x tại 3 điểm phân biệt nên b 0. Ta đặt g x f x ax c thì phương trình g x 0 có 3 nghiệm phân biệt. b Do f x g x và f x có đạo hàm bậc hai liên tục và không đổng nhất bằng 0 trên bất kỳ một khoảng nào của R nên g x cũng có tính chất đó. Theo định lí Rolle thì tổn tại 2 nghiệm x1 x2 với x1 x2 của phương trình g x 0 sao cho g x 0 với x G x1 x2 và x0 G x1 x2 sao cho g x0 0. Ta thấy g x đổi dấu qua x0 vì nếu trái lại thì g x 0 hoặc g x 0 trong x1 x2 từ đó dẫn đến g x hoặc đổng biến hoặc nghịch biến trong x1 x2 điều này không thể xảy ra. Suy ra f x0 0 và f x đổi dấu qua x0 đpcm . Bài toán 2 Cho hàm số f x khả vi vô hạn trên R và thoả mãn các điều kiện a . M 0 I f n x M x G R n G N. b . f I 1 0 n G N . è n 0 CMR f x 0 x G R. LG áp dụng định lí Rolle trên các đoạn a1 a2 a2 a3 . ta dễ chứng minh được khẳng định sau Giả sử f x có đạo hàm trên R. Giả thiết rằng tổn tại dãy đơn điệu an n 1 hội tụ đến x0 và thoả mãn điều kiện f an 0 n G N. Khi đó tổn tại dãy đơn điệu a n n 1 hội tụ đến x0 và thoả mãn điều kiện f a n 0 n G N. Sử dụng kết quả này cho hàm f x với an n G N sau đó áp dụng tiếp với các hàm f x f x . ta được f 0 lim f 11 ì 0 x èn0 f 0 lim f a n 0 x f 0 lim f a n 0 x Như vậy f n 0 0 n G N. Khai triển Taylor của hàm f x tại x 0 ta được f x 0 x G R đpcm . Bài toán 3 Cho hàm số f x khả vi trên 0 1 và thoả mãn điều kiện f 0 0 f 1 1 0 f x 1 x G R. Trường THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh Bùi Văn Đắc CMR tổn tại a b G 0 1 a b sao cho f a .f b 1. OLYMPIC New - York -76 LG Xét hàm số g x f x x - 1. Ta thấy g x khả vi trên 0 1 do g 0 -1 g 1 1 nên c G 0 1 sao cho g c 0. Suy ra f c c -1 0 hay f c 1 - c. Theo .