tailieunhanh - Phương trình hàm Funtional Equation

Bài toán về phương trình hàm thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi như IMO, VMO. Nhưng những người viết sách về nó cũng không nhiều, ở Việt Nam thì thấy có cuốn Phương trình hàm của Nguyễn Văn Mậu, gần đây có Nguyễn Giang Giai (không biết còn ai nữa không). Bài viết này tập hợp rất nhiều sách về phương trình hàm. Bên cạnh các tài liệu tiếng Anh một số tài liệu tiếng Việt cũng khá thú v. | PHƯƠNG TRÌNH HÀM FUNTIONAL EQUATION 51. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG f A B Đật A t Suy ra X theo t Rổi thay vào A B _ . . ỉ 1 í -----7 Ví dụ 1 Tìm hàm sô f x nếu biết với mọi X 0 f X ạ 1 X . Giải Đật t 5 X - thay vào hàm số đề bài Từ đó f x nếu t 0 Ví dụ 2 X 4- 1 Tìm f -------- nếu biết với X 0 X2 - 1 . Giải 2 2 -1 4 - 4t Đật t - X - . Từ đó f t - X 1 t t2 Ví dụ 3 Tìm tất cả hàm số f 0 1 - 0 1 thoả mãn 1. f x f y vớimọi X y 2. 2x - f x e 0 1 với mọi X e 0 1 3. f 2x - f x X với mọi X e 0 1 . 5 Giải Thay X bởi f x thì thu được Vx e 0 1 f 2f x - f f x f x . Vì f đơn ánh nên 2f x - f f x x. Thay X bởi f x thì có 2f l x - f 2 x f x r 2 x - f nx f l x - f x . . . f x - X . Từ đó f x n f x - X X . Sau đó lấy X cố định. Nếu f x X thì với n đủ lớn thì PỴx 1 vô lý . Nếu f x X thì với n đủ lớn thì f x 0 vô lý . Vậy f x x . Ví dụ 4 Cho hàm số f 0 oo - R thoả điều kiện f tg2x tg4x 4 Vx 0 4 tg4x 4 Chứng minh rằng f sinx f cosx 196 Vx e 0 4. Giải Đặt t tg2x thì t gX- - -L-tgx 4 -V- tg2x-2. 1 - tg2X t tgx t2 tg2X Suy ra 4 2 2 -ị- tg2x 2 4 tg4x 2 . t tg X tg X 16 16 1 Từ đó Ar Ar 2 -T- tg X . t t2 tg4x Do đó hàm số trở thành f t 4 4 2 với t 0 . t4 t2 Như vậy f sinx f cosx -T -T -T-. 4 sin4x cos4 X sin2 X cos2 X 16 . -----7 16 - ---- 4 sin X cos X sin X cos X 2 2 16. . 16 - - 4 sin2xcos2x sinxcosx 8 . 4 . . 16. 16-y- 4 4 196. sin22x sin2x Dấu xảy ra khi X 4 Ví dụ 5 Có tồn tại chăng một hàm số f R - R thoả điều kiện f f x X2 - a Vx 6 R với a 1 là số thực cho trước. 6 Giải Gọi g x X2 - a thì ta có g g x X x2 - a 2 - a - X 0 x2 - X - a x2 X - a 1 0 1 Gọi m n là hai nghiêm của phương trình X2 - X - a 0 Gọi p q là hai nghiêm của X2 X - q 1 0. Giả định có hàm số f sao cho f f x g x . Nếu f m k thì f k f f m g m m. Suy ra g k f f k f m k. Do đó k m hay k n . Nếu f p r f r f f p g p q . Nếu f q s f s f f q g q p. Ta có g r f f r f q s và g s r. Giả định r q thì g r g q f f q f s r p . Do đó p q vô lý . Cho nên r s và r p. Như thế 1 có 5 nghiêm vô lý vì nó là phương trình bậc bốn. Vậy hàm số