tailieunhanh - Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số

Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bới một hệ thức cho trước thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần tuý nhưng nếu biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Qua bài viết này tác giả mong muốn gửi đến các em học sinh một phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi TSĐH | PHẴN I Tự LUẬN A. MỘT số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐẠI số Chỉ để 1 SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN Đổi TƯƠNG ĐƯƠNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG thức 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ a Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng A B A B A B A B được gọi là BĐT với A gọi là vế trái B gọi là vế phải và A B là hai biểu thức đại số. Ta có A B A-B 0 A B A B 0 À B A-B 0 A B A-B 0 b Tính chất Tính chất 1 o A fĩ CQ o A A CQ Tính chất 2 Tính chất 3 L B A c B c Ư Với c 0 A B AC BC Với c 0 A B AC BC Tính chất 4 Í D A C B D Tính chất 5 r A-C B-D c D 0 Tính chất 6 A B 0 n e N An Bn A B 0 n e N n 2 w Tính chất 7 A B n e N o A2n 1 B2n 1 A B n e N o 2n YÃ 2n Ẽ 5 c Phương pháp Để chứng minh A B ta sẽ chứng minh A - B 0 nghĩa là ta sử đụng định nghĩa tính chất cơ bản . để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến một BĐT đúng hay một tính chất đúng hoặc có thể sử dụng BĐT đúng biến đổi dẫn đến BĐT cần chứng minh . 2. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1 Chứng minh a a b 2 ãb Va b 0. b a3 b3 ab2 a2b Va b 0. c a4 b4 ab3 a3b Va b. 1 BĐTCauchy 2 3 Giải a 1 a b 2 4ab a2 2ab b2 4ab a2 - 2ab b2 0 a - b 2 0 đúng Vậy a b 2ựãb Va b 0. 2 a3 - a2b b3 - ab2 0 a2 a - b - b2 a - b 0 a - b a2 - b2 0 a - b 2 a b 0 Do a b 0 đúng Vậy a3 b3 ab2 a2b Va b 0. 3 o a3 a - b - b3 à - b 0 a - b a3 - b3 0 a - b 2 a2 ab b2 0 3b2 4 a - b 2 0 Va b đúng Vậy a4 b4 ab3 a3b Va b. Ví dụ 2 Chứng minh a2 b2 c2 ab bc ca Va b c. Giải 2 a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca a - b 2 b - c 2 c - a 2 0 đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. Vậy a2 b2 c2 ab bc ca Va b c. 6 0 lg ị ló - Ví dụ 3 uno a b c là độ dài ba cạnh của AABC với a b c. Chứng minh a b c 2 9bc. Gỉẳỉ Vì a b a b c 2 á b b c 2 - 2b c 2 Để chứng minh ta sẽ chứng minh 2b c 2 9bc 1 Thật vậy 1 4b2 4bc c2 9bc 2b - c 2 bc Ta có 2b - c 2b - b b 9 7 2b - c 2 bc đpcm . 2b - c 2c - c c k Ví dụ 4 Cho a b c 0 thỏa mãn 2 . n_2 b 2a 2a Vã - 1. Chứng minh a b c b b2 2a2 ì c2 2b2 a2 2c2ì abc. V3 V3 w Giải Giả thiết đã cho có thể viết lại ab bc ca abc a u2 n 2 b 2a 2 2 ZJ 2 X 12 4 u . 4 2 b 2a .