tailieunhanh - Giáo trình giải tích cơ sở

Giáo trình giải tích cơ sở - Không gian định chuẩn - Ánh xạ tuyến tính liên tục - Không gian Hilbert | GIẢI TÍCH CƠ SỞ Chuyên ngành Giải Tích PPDH Toán Phần 2. Không gian định chuẩn Ánh xạ tuyến tính liên tục 3. Không gian Hilbert Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 27 tháng 3 năm 2005 I. Phần lý thuyết 1 Tích vô hướng không gian Hilbert Định nghĩa Định nghĩa 1 1. Cho không gian vectơ X trên trường số K K R hoặc K C .Một ánh xạ từ X X X vào K x y x y được gọi là một tích vô hướng trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau a x x 0 Vx e X x x 0 o x ỡ b y x x y y x x y nếu K R Vx y e X c x x y x y x y Vx x y e X d Xx y X x y Vx y e X VA e K 1 Từ các tính chất i - iv ta cũng có x y y íx y x yf x Xy x y 2. Nếu . . là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x ỵ x x là một chuẩn trên X gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. 3. Nếu . . là tích vô hướng trên X thì cặp X - - gọi là một không gian tiền Hilbert hay không gian Unita không gian với tích vô hướng . Sự hội tụ khái niệm tập mở . trong X . . luôn được gắn với chuẩn sinh bởi . . . Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ thì ta nói X . . là không gian Hilbert. Các tính chất 1. Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz x y x . yII 2. x y 2 x y 2 2 x 2 y 2 đẳng thức bình hành . 3. Nếu lim xn a lim yn b thì lim xn yn a b Ví dụ 1 1. Trong C a b các hàm thực liên tục trên a b thì ánh xạ x y x y x t y t dt J a là một tích vô hướng. Không gian C a b . .Ỵ không là không gian Hilbert. xây dựng ví dụ tương tự ở phần không gian metric 2. Trong l2 với x Xk y ak ta định nghĩa XI x y kak k i thì . . là tích vô hướng l2 . . là không gian Hilbert. 2 2 Sự trực giao Định nghĩa Định nghĩa 2 Cho không gian với tích vô hướng X . . và x y e X ộ M c X. 1. Ta nói x trực giao với y viết x1y nếu x y 2. Nếu x1y Vy e M thì ta viết x1M. Ta ký hiệu M1 x e X x 1 M . Các tính chất 1. Nếu x 1 M thì x 1 M M chỉ không gian con sinh bỏi M 2. Nếu x 1 yn Vn e N và lim yn y thì x 1 y. Suy ra nếu x 1 M thì cũng có x 1 M. 3. M1 là một không gian con đóng. 4. Nếu x1 . xn đôi nột trực giao thì xi . xnỊỊ2 11x1112 . xn 2 đẳng thức Pythagore Định .