tailieunhanh - Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - Môn: Giải tích cơ bản

Tham khảo tài liệu 'tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - môn: giải tích cơ bản', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Môn Giải tích cơ bản GV . Lê Hoàn Hóa Đánh máy NTV Phiên bản đã chỉnh sửa ngày 19 tháng 10 năm 2004 HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIEN số thực 1 Giới hạn liên tục Định nghĩa Cho I c R điểm x0 E R được gọi là điểm giới hạn hay điểm tụ của I nếu với mọi ỏ 0 I n xo ỏ xo ỏ x0 0. Cho f I R và xo là điểm giới hạn của I. Ta nói lim f x a E R Ve 3ỏ 0 Vx E I 0 x x0 ỏ f x a e X X0 lim f x œ œ VA E R 3ỏ 0 Vx E I 0 x x0 ỏ f x A f x A X X0 Định nghĩa Cho f I R và x0 E I. Ta nói f liên tục tại x0 Ve 0 3ỏ 0 Vx E I x x01 ỏ f x f x0 e Nếu x0 là điểm giới hạn của I thì f liên tục tại x0 lim f x f x0 X X0 Nếu f liên tục tại mọi x E I ta nói f liên tục trên I. f liên tục trên I Vx E I Ve 0 3ỏ 0 Vx E I x x ỏ f x f x e Ta nói f liên tục đều trên I Ve 0 3ỏ 0 Vx x E I x x ỏ f x f x e Hàm số liên tục trên một đoạn Cho f a b R liên tục. Khi đó i f liên tục đều trên a b . ii f đạt cực đại cực tiểu trên a b . Đặt m min f x x E a b M max f x x E a b . Khi đó f a b m M nghĩa là f đạt mọi giá trị trung gian giữa m M . 1 2 Sự khả vi T Tn . X f x0 t f x0 Định nghĩa Cho f I R và x0 E I. Ta nói f khả vi tại x0 nếu lim - - tồn tại hữu hạn. Khi đó đặt f x0 lim x fM gọi là đạo hàm của f tại x0 t o t Nếu f khả vi tại mọi x E I ta nói f khả vi trên I. Định lí Cauchy Cho f g a b R liên tục trên a b khả vi trên a b . Giả sử f x 0 trên a b . Khi đó tồn tại c E a b sao cho f c g b g a g c f b f a Trường hợp g x x ta có công thức Lagrange f b f a f f c b a Quy tắc Lôpitan Cho x0 E R hoặc x0 œ f g khả vi trong lân cận của x0. Giả sử g và g khác không và lim f x lim g x 0 hoặc lim f x lim g x œ hoặc œ. X X0 X X0 X X0 X X0 f x . f x X Khi đó Nếu lim A thì lim A A có thể là hữu hạn hoặc vô hạn . X X0 g x X X0 g x Công thức đạo hàm dưới dấu tích phân Cho f liên tục u v khả vi. Đặt v x F x Ịf t dt u x Khi đó F khả vi và F x v x f v x u x f u x . 3 Vô cùng bé - Vô cùng lớn Hàm f được gọi là lượng vô cùng bé khi x x0 nếu lim f x 0. X X0 Cho f g là hai lượng vô cùng bé