tailieunhanh - Phương Pháp Quy Nạp

Phương pháp quy nạp Một phương pháp rất mạnh trong toán học dùng nghiên cứu và chứng minh các giả thiết là nguyên lý quy nạp toán học. Bài viết này giúp bạn đọc làm quen với phương pháp mới này và có thể áp dụng nó vào bài toán. lý quy nạp: Gọi P(x) là một mệnh đề theo x. Định lý: Cho p là số nguyên dương và dãy các mẹnh đề P(1), P(2), ., P(n),. nếu a) P(1),P(2),. ,P(p) là những mệnh đề đúng b) Với mỗi số tự nhiên k=p các mệnh đề P(k-p+1), P(k-p+2),. ,P(k). | Phương pháp quy nạp Một phương pháp rất mạnh trong toán học dùng nghiên cứu và chứng minh các giả thiết là nguyên lý quy nạp toán học. Bài viết này giúp bạn đọc làm quen với phương pháp mới này và có thể áp dụng nó vào bài toán. I. Nguyên lý quy nạp Gọi P x là một mệnh đề theo x. Định lý Cho p là số nguyên dương và dãy các mẹnh đề P 1 P 2 . P n . nếu a P 1 P 2 . P p là những mệnh đề đúng b Với mỗi số tự nhiên k p các mệnh đề P k-p 1 P k-p 2 . P k đúng suy ra P k 1 cũng đúng Thì mệnh đề P n đúng với mọi số nguyên dương n. việc chứng minh định lý có lẽ là không cần thiết ta sẽ tập trung vào các bài tập về nguyên lý này nhưng mọi việc tự bản thân nó đã rõ ràng với những bạn đọc yêu toán. Chúng tôi cũng không đi sâu vào việc giới thiệu các bước quy nạp bởi vì qua các bài toán bạn đọc sẽ nắm được chúng. II. Các ví dụ Bài toán 1 Tính tổng Sn 1 3 5 . 2n-1 theo n Giải Ta tính thử vài giá trị đầu của tổng này S1 1 S2 4 S3 9 S4 16 từ những giá trị ban đầu đó ta dự đoán Sn n2 Ta bắt đầu chứng minh điều đó Cơ sở quy nạp với n 1 2 3 4 mệnh đề đúng Giả sử mệnh đề đúng với n k tức là Sk k2 ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n k 1. Thật vậy Sk 1 Sk 2k 1 k2 2k 1 k 1 2 Vậy mệnh đề đúng với mọi n. Bài toán 2 Tính tổng Pn 12 22 . n2 Giải Ta tính thử vài giá trị đầu của Sn N 1 2 3 4 5 6 Pn 1 5 14 30 55 91 Nhìn vào bảng trên ta khó có thể dự đoán công thức của Pn nhưng ta có thể liên hệ giữa Sn và Pn dựa vào bảng sau. N 1 2 3 4 5 6 Pn 1 5 14 30 55 91 Sn 1 3 6 10 15 91 Pl Sn 3 3 5 3 7 3 9 3 11 3 13 3 . . ỉx- -Pn 2n 1 Bây giờ ta có thể dự đoán - Sn 3 Từ đó ta có thể suy ra công thức n n 1 2n 1 p- 6 Ta chứng minh bằng quy nạp cho công thức trên Cơ sở quy nạp n 1 đúng giả sử mệnh đề đúng với n k tức là Pk k k 1 2 1 . Ta chứng minh mệnh đề đúng k 6 - với n k 1. Thật vậy . k k 1 2k 1 .2 P .1 Pk k 1 - 1 - k 1 - 6 Vậy mệnh đề đúng với mọi n. _ k 1 k 2 2k 3 6 Bài toán 3 Tính tổng Sn 13 23 . n3 Bài toán 4 Tính tổng Sn 14 24 . n4 bạn đọc tự giải hai bài toán trên Sau đây tôi xin giới thiệu với các