tailieunhanh - Hệ Thức Hình Học - THCS

" Hệ Thức Hình Học - THCS " giúp cho các em học sinh có thể tự học, tự ôn tập, luyện tập và tự kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu kiến thức, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức toán học,chúc các em học tốt | HINH HỌC I. Bất đẳng thức và cực trị Trong chương trình trung học cơ sở thì những bất đẳng thức chúng ta gặp chỉ xoay quanh các yếu tố của tam giác như ba cạnh a b c chu vi p bán kính đường tròn nội tiếp ngoại tiếp r R . và các yếu tố độ dài trong một đường tròn. Để nắm bắt rõ điều này tôi sẽ bổ sung một số hệ thức lượng trong tam giác mà một số hệ thức mà các bạn có thể chưa gặp trong chương trình học cấp 2 tuy nhiên đây là các hệ thức rất cơ bản trên cấp 3 i Hệ thức về diện tích tam giác S 2 aha pr 2 bc sin A p - a ra 7 p p - a p - b p - c ii Hệ thức về hàm số sin cos trung tuyến phân giác trong phân giác ngoài đường cao b2 c2 - 2bc cos A a2 a 2R sin A 2 2b2 2c2 - a2 m2 ---------- a 4 A 2bccos a - 2 1 - - ha hb hc r A B DM í Trong các hệ thức trên hầu hết là quen thuộc với các bạn nên tôi sẽ chỉ chứng minh hệ thức 1 và 2 . Chứng minh như sau Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác ABC và tam giác ABM với góc B ta có a2 c2 - 2ac cos B b2 2c2 2ac cos B -ỈU 2a Trừ hai vế đẳng thức với nhau ta có 2 2b2 2c2 - a2 U2 ---V----- a4 Đối với hệ thức 2 áp dụng công thức diện tích cho hai tam giác ABD ACD ta được í ABD S . ACD 2 cla 2 bla A sin 2 A sin 2 . 2bccos- Mặt khác S bc sin A S. n S rrt 1 sin b c 1 --2 2ABD ACD r a r ỉ a 1 . 2 2 b c iii Một số hệ thức đặc biệt khác Với O là điểm bất kì trên mặt phẳng thì 3 OA2 OBB OC2 9OG2 aa b2 cc với G là trọng tâm tam giác Chứng minh Áp dụng hệ thức trung tuyến cho các tam giác OAD OGD OBC GBC ta được O 2OA2 2OD2 4OG2 AD2 A 4OM2 GD2 2OG2 2OD2 7I 2OB2 2OC2 4OM2 BC2 4GM2 BC2 2GB2 2GC2 G J 1 Cộng bốn đẳng thức trên lại vế theo vế ta có B 5 C OA2 OB2 OC2 3OG2 GA2 GB2 GC2 Mà từ công thức đường trung tuyến ta dễ dàng suy ra D GA GB2 GC2 a a b c c 3 Thế vào ta có 3 OA2 OB2 OC2 9OG2 a2 b2 c2 Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp ta có hệ thức sau 9R2 9OG2 a2 b c2 i 9R2 a2 b2 c2 Trước hết chúng ta có một bài toán cơ bản là điều kiện tương đương để ba số dương là ba cạnh một tam giác. Điều kiện như sau a b c 0 là ba cạnh tam giác 3 x