tailieunhanh - Hạng của ma trận và ma trận nghịch đảo

Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Ta minh họa bởi ví dụ sau: | CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Slide Toán 2 1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A Mmxn(K) là phép biến đổi có một trong các dạng sau: a/ hi ↔ hj (Ci ↔ Cj) (Đổi chỗ 2 hàng hay 2 cột với nhau) b/ hi → (Ci → ), α ≠ 0 (Nhân một hàng hay một cột với 01 số khác không) c/ hi → hi + βhj (Ci → Ci + βCj) (Thêm vào một hàng hay một cột bội số của hàng khác hoặc cột khác) Slide Toán 2 1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN (tt) Ký hiệu: A → B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên A Ví dụ: Slide Toán 2 2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG Cho ma trận A Mmxn(K) Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu như: a/ Các hàng khác không (có ít nhất một phần tử nằm trên hàng nào đó khác không) nằm trên các hàng bằng không. b/ Với hai hàng khác không, phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên. . | CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Slide Toán 2 1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A Mmxn(K) là phép biến đổi có một trong các dạng sau: a/ hi ↔ hj (Ci ↔ Cj) (Đổi chỗ 2 hàng hay 2 cột với nhau) b/ hi → (Ci → ), α ≠ 0 (Nhân một hàng hay một cột với 01 số khác không) c/ hi → hi + βhj (Ci → Ci + βCj) (Thêm vào một hàng hay một cột bội số của hàng khác hoặc cột khác) Slide Toán 2 1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN (tt) Ký hiệu: A → B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên A Ví dụ: Slide Toán 2 2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG Cho ma trận A Mmxn(K) Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu như: a/ Các hàng khác không (có ít nhất một phần tử nằm trên hàng nào đó khác không) nằm trên các hàng bằng không. b/ Với hai hàng khác không, phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên. Slide Toán 2 2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) Ví dụ: Là những ma trận bậc thang Chú ý: Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Ta minh họa bởi ví dụ sau: Slide Toán 2 2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) Slide Toán 2 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN a/ Định nghĩa: Cho ma trận A Mmxn(K). Ta nói ma trận A có hạng bằng p (ký hiệu là r(A) = p) nếu như A chứa một ma trận con cấp p có định thức khác không, còn mọi định thức con cấp p+1 đều bằng không. Nói một cách khác, hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của nó. * Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0 Slide Toán 2 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau: . r(A) = r(AT) . r(Amxn) ≤ min{m,n} . r(A+B) ≤ r(A) + r(B) . r() ≤ min{r(A),r(B)} . Cho ma trận A Mmxn(K) X Mn(K), detX ≠ 0 Y Mm(K), detY ≠ 0 Khi đó: r(A) = r() = r() Slide Toán 2 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng của ma trận có các tính .