tailieunhanh - Độ đo-ôn thi cao học

Trong toán học, một độ đo là một hàm số cho tương ứng một "chiều dài", một "thể tích" hoặc một "xác suất" với một phần nào đó của một tập hợp cho sẵn. Nó là một khái niệm quan trọng trong giải tích và trong lý thuyết xác suất. Một cách hình thức, độ đo μ là một hàm số cho tương ứng mỗi phần tử S của một tập σ-đại số X với một giá trị μ(S) là một số thực không âm hoặc vô hạn. . | GIẢI TÍCH CƠ SỞ Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành Giải Tích PPDH Toán 1. Độ Đo Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 1 PHẦN LÝ THUYẾT 1. Không gian đo được Định nghĩa 1 Cho tập X p một họ F các tập con của X được gọi là một a đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau i. X G F và nếu A G F thì Ac G F trong đó Ac X A. ii. Hợp của đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F. 2 Nếu F là a đại số các tập con của X thì cặp X F gọi là một không gian đo được mỗi tập A G F gọi là tập đo được đo được đối với F hay F đo được Tính chất Giả sử F là a đại số trên X. Khi đó ta có 1 p G X. Suy ra hợp của hữu hạn tập thuộc F cũng là tập thuộc F. 2 Giao của hữu hạn hoặc đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F. 3 Nếu A G F B G F thì A B G F. 2. Độ đo Định nghĩa Cho một không gian đo được X F 1 Một ánh xạ ụ F y 0 œ được gọi là một độ đo nếu i. ụ p 0 ii. ụ có tính chất a cộng hiểu theo nghĩa V An n c F An n Am p n m ụ Ụ An ụ An n 1 n 1 2 Nếu ụ là một độ đo xác định trên a đại số F thì bộ ba X F ụ gọi là một không gian độ đo 1 Tính chất Cho ụ là một độ đo xác định trên ơ đại số F các tập được xét dưới đây đều giả thiết là thuộc F. 1 Nếu A c B thì ụ A ụ B hơn nữa nếu ụ A X thì ta có ụ B A ụ B ụ A 2 ụ U An Ễ ụ An . n 1 n 1 Do đó nếu ụ An 0 n G N thì ụ u An 0 n 1 3 Nếu An c An 1 n E N thì ụ u An lim ụ An n 1 n x 4 Nếu An D An 1 n G N và ụ A1 X thì ụ A An lim ụ An n 1 n Quy ước về các phép toán trong R Giả sử x G R a X hoặc a X. Ta quy ước 1 X x X 2 x a a a a a fa nếu x 0 3 i -a nếu x 0 4 - 0 a X a. a X Các phép toán a - a a x X không có nghĩa. 00X Khi thực hiện các phép toán trong R ta phải hết sức cẩn trọng. Ví dụ từ x a y a không suy ra được x y nếu a x . Định nghĩa Độ đo ụ xác định trên ơ đại số F các tập con của X được gọi là 1 Độ đo hữu hạn nếu ụ X X. 2 Độ đo ơ hữu hạn nếu tồn tại dãy An c F sao cho X u An ụ An X Vn G N n 1 3 Độ đo đủ nếu nó có tính chất A c B B G F ụ B 0 A G F 3. Độ đo Lebesgue trên R Tồn tại một a đại số F các .