tailieunhanh - Giải tích cổ điển cao học

Tham khảo tài liệu 'giải tích cổ điển cao học', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | I. CHUỖI ĐAN DẤU DẦU HIỆU LEPNIT Nếu bn đơn điệu giảm về 0 thì chuỗi hội tụ. Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi Giải Đây là chuỗi đan dấu với bn Ta có lnx đơn điệu tăng x 0 đơn điệu giảm và 0 Ta chứng minh ln n 1 ln n ln n 1 - ln n 0 mà Theo dấu hiệu Lepnit thì hội tụ Miền hội tụ ao x . an x . .hội tụ .hội tụ Giải bpt tìm đựơc 1 miền Ri x R2 Xét xem tại R1 R2 chuỗi có hội tụ không Ví dụ tìm miền hội tụ Giải Ta có nếu thì chuỗi hội tụ Xét f x Inx Giải bpt Tại ta có chuỗi phân kỳ Tại x e ta có chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ của chuỗi là II. CHUỖI LŨY THỪA Tìm l ở 1 trong 2 dạng sau hoặc Miền hội tụ sẽ là -R R Xét thêm tại -R và R Ví dụ tìm miền hội tụ của chuỗi Giải .là chuỗi lũy thừa với an Xét Tại x -2 ta có chuỗi hội tụ chuỗi đan dấu có bn đơn điệu Tại x 2 ta có chuỗi chuỗi điều hòa p 1 phân kỳ Vậy miền hội tụ D -2 2 III. CHUỖI ĐIỀU HÒA .p 1 hội tụ .p 1 phân kỳ Ví dụ Chuỗi phân kỳ Chuỗi hội tụ Chuỗi phân kỳ Chứng minh rằng Giải Ta có đpcm Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Giải Ta có Nếu thì chuỗi hàm hội tụ Tại x 0 ta có chuỗi hội tụ Tại x -2 ta có chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ của chuỗi là D Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Giải Ta có Khi thì chuỗi hội tụ Xét tại x 1 ta có chuỗi phân kỳ Xét tại x 3 ta có chuỗi hội tụ chuỗi đan dấu có bn đơn điệu Miền hội tụ của chuỗi là D 1 3 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Giải Đây là chuỗi hàm với Xét Chuỗi hàm hội tụ khi Miền hội tụ chính Tại x ta có chuỗi Áp dụng định lý Diriclet với và Xét Sn ai . an Ta cần chứng minh rằng Thật vậy Với n chẳn ta có vì Với n lẻ ta có Vậy Theo định lý Diriclet ta suy ra hội tụ Suy ra Miền hội tụ của chuỗi là D tại x ta có chuỗi cũng là chuỗi hội tụ IV. ĐỊNH LÝ DIRICHLET Nếu chuỗi bị chặn tức là và thì chuỗi hội tụ. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Giải Chuỗi trên có dạng chuỗi lũy thừa với an Xét Miền hội tụ chính Tại x - 1 3 ta có chuỗi phân kỳ Tại x 1 3 ta có chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ của chuỗi là Cho chuỗi hàm Tìm miền hội tụ của chuỗi .