tailieunhanh - Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 3 - PGS TS Vinh Quang

"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 3 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn trong. | ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS. TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 11 năm 2004 Bài 3 Giải Bài Tập Định Thức 1. Tính a h h Y Y a h trong đó a h Y là các nghiệm của phương trình x3 px q 0 Y a Giải Theo định lí Viet ta có a h Y 0 Cộng cột 1 cột 2 vào cột 3 ta có hy a h a h Y a h 0 h Y a h Y a h Y hy 0 0 Y a h Y a a h Y Y a 0 2. Giải phương trình 1 x x2 x3 1 2 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 Giải 1 Khai triển định thức vế trái theo dòng đầu ta sẽ có vế trái là một đa thức bậc 3 của x kí hiệu là f x . Ta có f 2 0 vì khi đó định thức ở vế trái có 2 dòng đầu bằng nhau. Tương tự f 3 0 f 4 0. Vì f x là đa thức bậc 3 có 3 nghiệm là 2 3 4 nên phương trình trên có nghiệm là 2 3 4. 3. Chứng minh 1 b1 2 2 3 3 bi C1 b2 C2 b3 C3 C1 1 C2 2 c3 3 0 Giải Nhân cột 2 với -1 cột 3 với 1 rồi cộng vào cột 1 ta có VT 1 2 1 b1 C1 C1 1 1 b1 c1 c1 1 2 2 b2 C2 C2 2 2 2 b2 C2 C2 2 2 3 b3 C3 C3 3 3 b3 C3 C3 - 3 1 b1 c1 c1 y 1 b1 C1 2 2 b2 C2 C2 2 2 b2 c2 3 b3 C3 C3 3 b3 C3 Giải thích 1 nhân cột 1 với -1 cộng vào cột 3 2 nhân cột 3 với -1 cộng vào cột 2 4. Chứng minh 2 1 2 2 2 3 2 b2 b 1 2 b 2 2 b 3 2 c2 c 1 2 c 2 2 c 3 2 d2 d 1 2 d 2 2 d 3 2 0 Giải 2 1 2 2 3 6 9 1 b2 b 1 2 2b 3 6b 9 2 VT c2 c 1 2 2c 3 6c 9 0 d2 d 1 2 2d 3 6d 9 Giải thích 1 Nhân cột 1 với -1 cộng vào cột 4 nhân cột 2 với -1 cộng vào cột 3 2 Định thức có 2 cột tỷ lệ 2 5. Tính đinh thức 2 T_ i VT 1 ai a2 a3 an ai 1 a2 a3 an ai a2 1 a3 . an . . . ai a2 a3 . 1 an Giải 1 ai an a2 a3 an 1 ai an 1 a2 a3 an 1 ai . an a2 1 a3 . an . . . . 1 ai . . an a2 a3 . . 1 an 1 ai an a2 a3 an 0 1 0 0 0 . . 0 1 0 . . . 1 ai . 0 . . . . 00 1 an Giải thích 1 Cộng các cột 2 3 . n vào cột 1 2 Nhân dòng 1 với -1 rồi cộng vào các dòng 2 3 . n 6. Tính đinh thức 0 1 1 . 1 1 0 x . x 1 . x . 0 . . x . . . 1 . . x . . x . . . 0 Giải Với x 0 T 1 VT 0 1 1 1 n 1 1 1 1 1 x 0 0 2 x 0 x 0 0 1 . 0 . x . . 0 . 0 0 x 0 . 1 . 0 0 . x . . 0 . . 0 . . 0 . . x