tailieunhanh - Tuyển tập đề thi IMO tổng hợp

Tuyển tập đề thi IMO tổng hợp giúp các em học sinh có tài liệu tham khảo , luyện tập. Tài liệu bao gồm các bài tập tự luận, tài liệu rất hay để các bạn tham khảo. Chúc các bạn thi tốt. | ÖllTTINHOC HHnTRUDHG http www. diendanto Upload by Magus Tuyen täp de thi IMO IMO Task Collection Ha Nöi - 2002 Tuyển tập các đề thi IMO Kỳ thi IMO lần thứ nhất -1959 1. Chứng minh rằng 21n 4 14n 3 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. 2. Với giá trị thực nào của x thì biểu thức yjx 2x T ylx-yỊĨx- 1 A nhận các giá trị a A V2 b A 1 c A 2 Ở đây chỉ có các số thực không âm cho phép trong dấu căn và giá trị của căn luôn lấy giá trị không âm 3. Giả sử a b c là các số thực. Cho phương trình sau của cosx a cos2x b cos x c 0 Hãy thiết lập phương trình bậc 2 đối với cos2x sao cho có cùng nghiệm x với phương trình trên. So sánh các phương trình trên với a 4 b 2 c -1. 4. Cho trước độ dài AC hãy dựng tam giác ABC với góc ABC 90 độ và trung tuyến BM thỏa mãn BM2 . 5. Cho điểm M tuỳ ý trong đoạn thẳng AB. Dựng các hình vuông AMCD và MBEF nằm cùng phía đối với đường thẳng AB. Gọi P Q lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF. Các đường tròn này giao nhau tại M và N. a Chứng minh rằng AF và BC cắt nhau tại N. b Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định S không phụ thuộc vào M . c Tìm quĩ tích trung điểm của đoạn thẳng PQ khi M thay đổi. 6. Cho hai mặt phẳng P và Q không song song với nhau. Điểm A nằm trong P nhưng không thuộc Q điểm C nằm trong Q nhưng không thuộc P. Dựng điểm B trong P và D trong Q sao cho tứ giác ABCD thoả mãn các điều kiện sau nằm trênng một mặt phẳng AB song song với CD AD BC và ngoại tiếp một đường tròn. Tuyển tập các đề thi IMO Page 2 Kỳ thi IMO lần thứ hai - 1960 1. Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho số đó chia hết cho 11 và kết quả của số đó sau khi chia cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số của nó. 2. Với giá trị thực nào của x bất đẳng thức sau thoả mãn 4x 2 - _ ----Ị . 2x 9 1 -yl 1 2x 2 3. Cho tam giác vuông ABC cạnh huyền BC có độ dài a được chia thành n phần bằng nhau trong đó n là một số lẻ. Phần đoạn thẳng ở chính giữa nhìn A dưới một góc a. Gọi h là khoảng cách từ A xuống BC. Chứng minh rằng .