tailieunhanh - Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức

Để chứng minh A= B trong một trường hợp ta có thể nghĩ đến phương pháp sau " Tìm C sau đó chứng minh A=c và C=B. Nhưng vấn đề quan trọng là tìm C. Để tìm C nhiều khi ta phải mò mẫm, dự đoán, dựa vào một phương pháp cũ đã biết | Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một sô bất đẳng thức DƯNG Để chứng minh A B trong một số trường hợp ta có thể nghĩ đến phương pháp sau Tìm C sau đó chứng minh A C và C B .Nhưng vấn đề quan trọng là tìm tìm C nhiều khi ta phải mò mẫm dự đo án dựa vào một phương pháp cũ đã biết .Trong bài viết này Tôi sẽ đưa ra một kinh ngiệm tìm C dựa vào một phương pháp cũ đã biết. Sau khi chứng minh được một bất đẳng thức ta nên thử xem liệu có thể xây dựng được một số bất đẳng thức khác từ bất đẳng thức đó hay không hoặc dựa vào lời giải đó ta có thể xây dựng các bất đẳng thức khác hay không Sau đây tôi muốn minh hoạ những vấn đề trên. Trước hết ta chứng minh các bổ đề sau Bổ đê 1. Trong 3 số bất kỳ Xj x2 x3 luôn tồn tại hai số xi xj i và j thuộc tập 1 2 3 sao cho X a 1 Xj a hoặc X - a 1 Xj - a a là số thực bất kỳ Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x 1 - x2 -x3 Nếu x2 - a thì x1 - a và x2 - a ta có điều phải chứng minh. Nếu x2 a thì x2 a và x3 a ta có điều phải chứng minh. Bổ đê 2. Nếu Ix a hoặc Ix - a thi xy a x y -a2 . y a y - a Chứng minh Từ giả thiết ta có x-a y-a 0 hay xy a x y -a2 đpcm Vận dụng hai bổ đê này để chứng minh một số bất đẳng thức Các ví dụ Ví dụ 1. Cho x y z là các số thực dương .Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức xyz 2 x2 y2 z2 8 5 x y z .Đẳng thức xảy ra khi nào. Bài I-3 của chuyên mục Chào IMO 2007 đợt 1 của Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 357 tháng 3 năm 2007 Chứng minh Theo bổ đề 1 và vai trò x y z trong bài toán bình đẳng nên không mất tính . . . X 1 IX - 1 tổng quát ta có thể giả sử 1 1 hoặc 1 1 .Khi đó theo Bổ đề 2 ta có xy x y-1 xyz xz yz-z vì z 0 z 9 9 9x z 9 9 9x z-í __ V ív V r7-i- ỉr7_ T-i-D í v 2 ỉ2 r72 -i- i 1 xyz 2 x y z 8 xz yz-z 2 x y z 8 1 Ta sẽ chứng minh xz yz-z 2 x2 y2 z2 8 5 x y z 2 Thật vậy 2 y z-2 2 x z-2 2 3 x-1 2 3 y-1 2 2 z-1 2 0 đúng. Từ 1 và 2 suy ra xyz 2 x2 y2 z2 8 5 x y z Điều phải chứng minh Đẳng thức trong trường hợp này xảy ra khi x y z 1. Vậy đẳng thức xảy ra .