tailieunhanh - OLYMPIC TOÁN NĂM 2000 (Tập 1) P2

OLYMPIC TOÁN NĂM 2000 (Tập 1) P2 là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn. | 42 Nguyễn Hữu Điển ĐHKHTN Hà Nội n n n 52 xiVi -Ĩ2 xi 3Vi Ĩ2 Vif xi i 1 i 1 i 1 yi Ỉ2 f xi Ỉ2 Vi - Vi-1 f xi f xi 1 f xn i 1 i 2 Ẻ Vi- Vi-1 f xi f xi 1 f xn 0 i 2 Từ đó ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh. AA1 CC1 là các đường cao của tam giác nhọn ABC. Đường phân giác của góc nhọn giữa hai đường thẳng AA1 CC1 cắt các cạnh AB và BC tại P Q tương ứng. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và M là trung điểm của cạnh AC đường phân giác của ABC cắt đoạn HM tại R. Chứng minh rằng tứ giác PBQR nội tiếp được một đường tròn. Lời giải Hạ đường vuông góc với cạnh AB và BC tại P Q tương ứng chúng cắt nhau tại R . Gọi S là giao điểm của R P và HA T là giao điểm của R Q và HC. Hạ đường vuông góc từ M tới AB cắt HA tại U và hạ đường vuông góc từ M tới BC cắt HC tại V. Vì NPSH NHTQ có các cạnh tương ứng song song và PSH HTQ Do PQ là đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AA1 CC1 nên PhS QỉĨT. Do đó NPHS NQHT Mặt khác vì HAP 2 - aBBC QCH và PHA QỈĨC nên NPHA NQHC Do đó HT _ HP _ HC _ 2MU _ MU _ HV HS Hq Ha 2MV MV HU Khi đó phép vị tự tâm H biến đường thẳng PS thành đường thẳng MU và cũng biến đường thẳng QT thành đường thẳng MV. Do đó nó biến R PS n QT thành M MU n MV. Vì thế 3 điểm H R M thẳng hàng Ta lại sử dụng giả thiết NPHA NQHC ta có HPB HQB là đồng dư vì chúng cùng phụ với hai góc HPA HQC. Như vậy BP BQ và NBRP NBRQ nên PBR OBR . Đề thi Olympic Nước Nga 43 Do đó R nằm trên cả hai đường thẳng HM và đường phân giác của ABC suy ra R R Từ đó dễ dàng suy ra tứ giác PBQR nội tiếp vì BPR 2 BQR 5 viên ngọc có trọng lượng khác nhau. Oleg biết được trọng lượng của từng viên. Với mỗi viên ngọc x kí hiệu m x là trọng lượng của nó. Dmitrii cố gắng xác định trọng lượng lớn nhất của các viên ngọc đó. Anh ta được phép chọn 3 viên A B C và hỏi Oleg rằng Có phải m A m B m C không . Oleg chỉ trả lời Đúng hoặc Sai . Hỏi Dimitrii có thể xác định được trọng lượng lớn nhất sau 9 câu hỏi hay không Lời giải Chúng ta sẽ chỉ ra rằng Dimitrii sẽ không thể xác định được khối