tailieunhanh - Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh

Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh nhằm giúp cho học sinh ôn tập, luyện tập và vận dụng các kiến thức vào việc giải các bài tập và đặc biệt khi giải những bài tập cần phải tính toán một cách nhanh nhất, thuận lợi nhất đồng thời đáp ứng cho kỳ thi tuyển sinh đại học và cao đẳng. | Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh các trường ĐH năm học 2009-2010 Số học 1. 1. ĐH Vinh Giả sử m n là 2 số nguyên dương thoả mãn n là số lẻ với d m n . d Xác định a1 1 a - 1 với a là số nguyên dương lớn hơn 1. Giải. Do d m n nên I m n 1 1. Vì là số lẻ nên từ đây ta có I 2 n 1 1 V d d J d V d d J suy ra 2m n d. Theo định lý Bezout tồn tại u v nguyên sao cho 2mu nv d. Đặt D am 1 a - 1 . Khi đó a1 -1 mod D a2m 1 mod D Ngoài ra ta đã có a 1 mod D . Từ những điều trên ta suy ra ad a2mu nv 1 mod D . Do m dm nên từ đây ta suy ra a1 1 modD . Kết hợp với đồng dư a1 - 1 mod D ta suy ra 2 0 mod D . Từ đây suy ra D 1 hoặc D 2. Dễ thấy với a lẻ thì D 2 còn với a chẵn thì D 1. Đó chính là kết luận của bài toán. Bình luận. Đây là một bài toán khá căn bản về bậc của một số theo modulo. Trong các bài toán như vậy định lý Bezout luôn là một kết quả hữu ích. 2. ĐHKHTN Dãy số an được xác định như sau a0 0 a1 1 a2 2 a3 6 và an 4 2an 3 an 2 - 2an 1 - an với mọi n 0. a Chứng minh rằng an chia hết cho n với mọi n 1. Ía 1 .XX. . . . X. . chứa vô số số hạng chia hết cho n J n 1 2009. Lời giải tóm tắt. Phương trình đặc trưng của dãy an có dạng x4 - 2x3 - x2 2x 1 0 x2-x-1 2 0. Từ đó số hạng tổng quát của an có dạng an c a ç ßn n c3 an c4 ßn trong đó a ß là các nghiệm của phương trình x2 - x - 1 0. Từ đây từ các điều kiện ban đầu ta tìm được c c7 0 c -U c . Suy ra V5 V5 a n a -X p Từ đây ta được Fn. Với Fl 1 F2 1 Fn 1 Fn Fn-1 với mọi n 1 2 . n tức là dãy số Fibonacci. Kết luận câu a đến đây là hiển nhiên. Để giải phần b ta có thể đi theo các hướng sau Cách 1. Dùng quy nạp chứng minh rằng Fm n Fm 1Fn FmFn-1. Sau đó tiếp tục dùng quy nạp chứng minh rằng Fkn chia hết cho Fn. Từ đây để chứng minh kết luận của bài toán ta chỉ cần chỉ ra một giá trị nguyên dương n sao cho Fn chia hết cho 2009 là xong. Có thể tính toán được rằng F56 chia hết cho 49 còn F20 chia hết cho 41 từ đó F280 chia hết cho 2009. Cách 2. Ta chứng minh mệnh đề tổng quát Với mọi số nguyên dương N tồn tại vô số số hạng của dãy .