tailieunhanh - Ma trận nghịch đảo

Nguồn: / 1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion): Định nghĩa 1: Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu = = A, với mọi ma trận vuông A cấp n Ta nhận thấy ma trận trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên có dạng sau: | Ma trận nghịch đảo khả nghịch Nguồn 1. Khái niệm ma trận nghịch đảo matrix inversion Định nghĩa 1 Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A với mọi ma trận vuông A cấp n Ta nhận thấy ma trận trên là tồn tại. Thật vậy ma trận thỏa điều kiện trên có dạng sau 1 Ũ ũ . p Ũ 1 Ũ .0 Ũ 0 1 .0 k0 ũ 0 . 1 Ma trận đơn vị cấp n Ngoài ra ma trận đơn vị là duy nhất. Thật vậy giả sử có hai ma trận đơn vị I và I . Ta có Vì I là ma trận đơn vị nên I .I I và I là ma trận đơn vị nên I .I I Vậy I I Định nghĩa 2 Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho In. Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A ký hiệu A-1. Như vậy In Nhận xét 1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất vì giả sử tồn tại ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có In thì B B .C C 2. Hiển nhiên A 1 1 A nghĩa là A lại là ma trận nghịch đảo của A-1 3. Trong giáo trình này ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên hiện tại có nhiều giáo trình nước ngoài đã đề cập đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ. Thật vậy cho A là ma trận cấp m x n trên trường số K. Khi đó ta bảo A là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận L cấp n x m sao cho In. A là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận R cấp n x m sao cho Im. Và khi đó dĩ nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái và khả nghịch phải. 4. Ma trận đơn vị là khả nghịch Ma trận không không khả nghịch. 5. Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch được ký hiệu là GLn K . Các ví dụ Xét các ma trận vuông thực cấp 2 sau đây 2 _ í 2 c . -ự Ì 5 Ta có I2. Do đó A B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B B là nghịch đảo của A Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cấp 2 ta đều có 2 0 5Ìíũ Í2a 5c ũj à 1 0 dòng không hoặc cột không đều không khả nghịch. Nhận xét Ma trận có ít nhất 1 2. Tính chất 1. Nếu A B là khả nghịch thì ma trận