tailieunhanh - Chapter 4: Motion in Two and Three Dimensions

In this chapter we will continue to study the motion of objects without the restriction we put in chapter 2 to move along a straight line. Instead we will consider motion in a plane (two dimensional motion) and motion in space (three dimensional motion) | Chapter 4 Motion in Two and Three Dimensions In this chapter we will continue to study the motion of objects without the restriction we put in chapter 2 to move along a straight line. Instead we will consider motion in a plane (two dimensional motion) and motion in space (three dimensional motion) The following vectors will be defined for two- and three- dimensional motion: Displacement Average and instantaneous velocity Average and instantaneous acceleration We will consider in detail projectile motion and uniform circular motion as examples of motion in two dimensions Finally we will consider relative motion, . the transformation of velocities between two reference systems which move with respect to each other with constant velocity (4 -1) Position Vector (4 -2) P t2 t1 Displacement Vector (4 -3) t t + Δt Average and Instantaneous Velocity Following the same approach as in chapter 2 we define the average velocity as: We define as the instantaneous velocity (or more simply the velocity) as the limit: (4 - 4) t t + Δt (4 - 5) The three velocity components are given by the equations: Average and Instantaneous Acceleration The average acceleration is defined as: We define as the instantaneous acceleration as the limit: The three acceleration components are given by the equations: Note: Unlike velocity, the acceleration vector does not have any specific relationship with the path. (4 - 6) Projectile Motion The motion of an object in a vertical plane under the influence of gravitational force is known as “projectile motion” The projectile is launched with an initial velocity The horizontal and vertical velocity components are: Projectile motion will be analyzed in a horizontal and a vertical motion along the x- and y-axes, respectively. These two motions are independent of each other. Motion along the x-axis has zero acceleration. Motion along the y-axis has uniform acceleration ay = -g (4-7) g (4 - 7) g (4-8) (4 - 8) (4 - 9) O A R t (4 -10) /2 3 /2 sin O A t H g Maximum height H (4 -11) Maximum height H (encore) A t H g (4 -12) Uniform circular Motion: A particles is in uniform circular motion it moves on a circular path of radius r with constant speed v. Even though the speed is constant, the velocity is not. The reason is that the direction of the velocity vector changes from point to point along the path. The fact that the velocity changes means that the acceleration is not zero. The acceleration in uniform circular motion has the following characteristics: 1. Its vector points towards the center C of the circular path, thus the name “centripetal” 2. Its magnitude a is given by the equation: C P R Q r r r The time T it takes to complete a full revolution is known as the “period”. It is given by the equation: (4 -13) A P C C (4 -14) Relative Motion in One Dimension: The velocity of a particle P determined by two different observers A and B varies from observer to observer. Below we derive what is known as the “transformation equation” of velocities. This equation gives us the exact relationship between the velocities each observer perceives. Here we assume that observer B moves with a known constant velocity vBA with respect to observer A. Observer A and B determine the coordinates of particle P to be xPA and xPB , respectively. (4 -15) Relative Motion in Two Dimensions: Here we assume that observer B moves with a known constant velocity vBA with respect to observer A in the xy-plane. (4 -16)

• Toán học
• toán học
• phương pháp vecto
• đại số tuyến tính
• hình học
• nhị thức Nuiton
• Khóa luận tốt nghiệp ngành Kế toán Kiểm toán
• Kế toán Kiểm toán
• Tổ chức kế toán thanh toán
• Kế toán thanh toán cho người mua người bán
• Kế toán thanh toán
• Kế toán người bán
• Kế toán người mua
• ôn thi toán học
• Tài liệu toán học
• cách giải bài tập toán
• phương pháp học toán
• bài tập toán học
• cách giải nhanh toán
• Đề ôn thi học kì 1 môn Toán 10
• Đề ôn thi học kì 1 môn Toán 11
• Đề thi HK1 môn Toán lớp 10
• Đề thi HK1 môn Toán lớp 11
• Đề thi học kì 1 Toán 10
• Đề thi học kì 1 Toán 11
• Đề thi môn Toán lớp 10
• Đề thi môn Toán lớp 11
• Ôn thi Toán 10
• Ôn thi Toán 11
• Luận văn Toán học
• Luận văn thạc sĩ Toán học
• Các bài Toán hình học tổ hợp
• Luận văn Toán hình học tổ hợp
• Phương pháp giải toán hình học tổ hợp
• Thạc sĩ Khoa học Toán học
• Nguyên lí Dirichlet
• Giải toán sơ cấp
• Sáng kiến kinh nghiệm
• Kết quả học tập môn toán
• Đồ dùng dạy học toán học
• Phần mềm toán học vào dạy học
• Toán Hình Học chương III
• Toán hình học Lớp 11
• Trường THPT Cao Lãnh 1
• số chính phương
• Ôn tập toán
• bài tập toán
• tài liệu học môn toán
• sổ tay toán học
• ôn tập trắc nghiệm toán
• Bộ đề thi học kì 1 môn Toán lớp 9
• Đề thi học kì Toán 9
• Đề thi tham khảo HK1 môn Toán 9
• Đề thi học kì 1 Toán 9
• Đề thi môn Toán lớp 9
• Đề kiểm tra HK1 Toán 9
• Kiểm tra Toán 9 HK1
• Đề thi HK1 môn Toán
• Ôn tập Toán 9
• Ôn thi Toán 9
• Bộ đề thi học kì 1 môn Toán lớp 8
• Đề thi học kì Toán 8
• Đề thi tham khảo HK1 môn Toán 8
• Đề thi học kì 1 Toán 8
• Đề thi môn Toán lớp 8
• Đề kiểm tra HK1 Toán 8
• Kiểm tra Toán 8 HK1
• Ôn tập Toán 8
• Ôn thi Toán 8
• Bộ đề thi học kì 1 môn Toán lớp 6
• Đề thi học kì Toán 6
• Đề thi tham khảo HK1 môn Toán 6
• Đề thi học kì 1 Toán 6
• Đề thi môn Toán lớp 6
• Đề kiểm tra HK1 Toán 6
• Kiểm tra Toán 6 HK1
• Ôn tập Toán 6
• Ôn thi Toán 6
• Bộ đề thi học kì 1 môn Toán lớp 7
• Đề thi học kì Toán 7
• Đề thi tham khảo HK1 môn Toán 7
• Đề thi học kì 1 Toán 7
• Đề thi môn Toán lớp 7
• Đề kiểm tra HK1 Toán 7
• Kiểm tra Toán 7 HK1
• Ôn tập Toán 7
• Ôn thi Toán 7
• Phát triển tư duy toán học
• Lập luận toán học
• Dạy học Toán lớp 4
• Phát triển toán học cho học sinh
• Kỹ năng lập luận toán học
• Giáo dục toán học ở bậc tiểu học
• Đặc điểm của học sinh khó khăn trong học toán
• Học sinh khó khăn trong học toán
• Biện pháp giúp đỡ học sinh khó khăn trong học toán
• Tình trạng học sinh khó khăn trong học toán
• Bồi dưỡng học sinh kém toán
• Đề thi chọn HSG Toán THPT
• Đề thi học sinh giỏi Toán 12
• Đề thi HSG môn Toán lớp 12
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán
• Đề thi học sinh giỏi Toán
• Đề thi học sinh giỏi lớp 12
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT
• Ôn thi Toán 12
• Bài tập Toán 12
• Luyện thi HSG Toán 12