tailieunhanh - Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán trung học cơ sở

Tài liệu "Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán trung học cơ sở" trình bày về lý thuyết và bài tập các chuyên đề Toán học trong chương trình THCS như: Số chính phương; phương trình nghiệm nguyên; giải phương trình vô tỷ và hệ phương trình; . Mời các bạn cùng tham khảo! | Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN THCS Chuyên đề 1 SỐ CHÍNH PHƯƠNG I- ĐỊNH NGHĨA Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên. II- TÍNH CHẤT 1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0 1 4 5 6 9 không thể có chữ tận cùng bằng 2 3 7 8. 2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. 3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n 2 hoặc 4n 3 n N . 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n 2 n N . 5- Số chính phương tận cùng bằng 1 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. 6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. III- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A- Dạng 1 CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG. Bài 1 Chứng minh rằng mọi số nguyên x y thì A x y x 2y x 3y x 4y y 4 là số chính phương. Giải Ta có A x y x 2y x 3y x 4y y 4 x 2 5 xy 4 y 2 x 2 5 xy 6 y 2 y 4 Đặt x 2 5 xy 5 y 2 t t Z thì A t y 2 t y 2 y 4 t 2 y 4 y 4 t 2 x 2 5 xy 5 y 2 2 1 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán THCS Đăng ký học Vì x y z Z nên x 2 Z 5 xy Z 5 y 2 Z x 2 5 xy 5 y 2 Z Vậy A là số chính phương. Bài 2 Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương. Giải Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là n n 1 n 2 n 3 n Z . Ta có n n 1 n 2 n 3 1 n . n 3 n 1 n 2 1 n 2 3n n 2 3n 2 1 Đặt n 2 3n t t N thì t t 2 1 t2 2t 1 t 1 2 n2 3n 1 2 Vì n N nên n2 3n 1 N. Vậy n n 1 n 2 3 1 là số chính phương. Bài 3 Cho S . k k 1 k 2 Chứng minh rằng 4S 1 là số chính phương. 1 1 Giải Ta có k k 1 k 2 k k 1 k 2 . 4 k k 1 k 2 . k 3 k