tailieunhanh - Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2001

" Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2001 " . Đây là một sân chơi lớn để sinh viên thế giới có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình. Từ đó đến nay, các kỳ thi Olympic sinh viênthế giới đã liên tục được mở rộng quy mô rất lớn. Kỳ thi này là một sự kiện quan trọng đối với phong trào học toán của sinh viên thế giới trong trường đại. | 8th IMC 2001 July 19 - July 25 Prague Czech Republic First day Problem 1. Let n be a positive integer. Consider an n x n matrix with entries 1 2 . n2 written in order starting top left and moving along each row in turn left-to-right. We choose n entries of the matrix such that exactly one entry is chosen in each row and each column. What are the possible values of the sum of the selected entries Solution. Since there are exactly n rows and n columns the choice is of the form . j J 1 . ng where a 2 Sn is a permutation. Thus the corresponding sum is equal to n n n n 2 n j_ 1 a j 12 nj_ 12n E a j j i j i j i j i . nn n 1 2 n n2 1 n2 3 n _ j n 1 7 2 7 - n2 ---------- - j 1 j 1 j 1 which shows that the sum is independent of a. Problem 2. Let r s t be positive integers which are pairwise relatively prime. If a and b are elements of a commutative multiplicative group with unity element e and ar bs ab 7 e prove that a b e. Does the same conclusion hold if a and b are elements of an arbitrary non-commutative group Solution. 1. There exist integers u and v such that us vt 1. Since ab ba we obtain v i i xus vt i US I iXt i xUS i xUS us i s u us us ab ab ab ab I ab e ab aus bs aus e aus. Therefore br ebr arbr ab r ausr ar us e. Since xr ys 1 for suitable integers x and y b bxr ys br x bs y e. It follows similarly that a e as well. 2. This is not true. Let a 123 and b 34567 be cycles of the permutation group S7 of order 7. Then ab 1234567 and a3 b5 ab 7 e. 1 Problem 3. Find lim 1 t 5 t y n 1 proaches 1 from below. tn 1 tn where t 1 means that t ap- 1 8th IMC 2001 July 19 - July 25 Prague Czech Republic Second day Problem 1. Let r s 1 be integers and o 1 r-i bo bi b -i be real nonnegative numbers such that o ix 2x2 r_ ixr 1 xr bo bix b jx2 bs ixs 2 xs 1 x x2 x xr s Prove that each j and each bj equals either 0 or 1. Solution. Multiply the left hand side polynomials. We obtain the following equalities obo 1 obi ibo 1 Among them one can find equations o ibs i 2bs 2 1 and bo bi r i