tailieunhanh - Giải tích I và II - Phép tính vi phân và tích phân (Tập 2): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Phép tính vi phân và tích phân" trình bày các nội dung: Tích phân bội, tích phân phụ thuộc tham số, tích phân đường và tích phân mặt. | CHUƠNG VIII TÍCH PHÀN BỘI Trong chương này ta sẽ mở rộng khái niệm cùng các kết quà về tích phân một lớp cho tích phân của hàm nhiều biến. Đổ là hàm nhân giá trị Banach với miền xác định là tập con của Rn. 1- TÍCH PHÂN TRÊN HÌNH HỘP ỉ. Định nghia. Hình hộp hay hình hộp đóng trong Rn ta hiểu là tập bất kỳ cd dạng X x I X n e Rn X i e a i b. i l n ij n nta bl i l tron g đó a a p an b bj bn G Rn. Ta luôn giả thiết aị lt bị với i l n. Hỉnh hộp C dạng trên sẽ 5 ký hiệu là P a b còn bị gọi là cạnh thứ i của P a b . Hiển nhiên Int P a b x P a b a lt X lt b i l ri và goi Int P a b là hỉnh hộp mở. Bảy giờ cho f P a b F là một hàm với giá trị không gian Banach F. Trên mỗi cạnh a 7 của P a b ta thực hiện một phân hoíạch tùy ý f ị bởi các điểm chia. a. X lt x lt . lt X b. i T7n. n i o 1 pi i Từr các phân hoạch đđ ta nhận được phân hoạch K của hình hộp p ía b th àn h các hình hộp con P c d ở đây tọa độ thứ i của 129 c và d là các điểm chia liên tiếp xjả J x jj của cạnh aịy bị i _ TTñ j 2 ƠTPị P c d x . J x .jlx x2. J x2j2 X . x xnjn ị xnjn . Kỹ hiệu phân hoạch 7 nhận được từ các phân hoạch lĩ 1 p . . . 71 bởi 7 JIÌ X. X Jin P c d T 1 Chọn tùy ý trong mỗi hỉnh hộp T G ã một điểm và lậptổng ơjr T T e 71 an 2 f T T TE jt ở đây II T hay v T kỷ hiệu là tích độ dài các cạnh của hình hộp T và gọi là thể tích của T Il TU I r i .I v V .I Dật d 7r max c tt . d jr. max j K - x j j . J 1 lt i lt n jj i l n Ta ndi họ ơ cò giới hạn I G F khi d 7ĩ - 0 và viết lim Ơ lim 71 2 f T T . I. 1 d 7r - 0 d Jĩ - 0 T E jĩ nếu với mọi e gt 0 cho trước tồn tại ỏ gt 0 sao cho 2 f T T - I lt e. 2 TE jt đối với mọi phân hoạch 7 của hình hộp P a b thành các hỉnh 1 hộp T mà d r lt ỏ và đói với mọi điểm T E T. . Oịnh nghỉạ. Nếu gỉới hạn 1 tồn tại theo nghỉa ndi trên thi ta nổi f là hàm khả tích trên hình hộp P a b và giới hạn đổ được. 130 gọi là tích phân bội hay tích phân bội n hay tích phân n-lớp của f trên P a b . Ký hiệu là I f x dx f f 3 P a .h P p hay I . f X j . x n d x r .d x n. . .