tailieunhanh - Chương 7 : Các phương trình vi phân thường

Một phương trình vi phân cấp 1 có thể viết dưới dạng giải được y′ = f(x,y) mà ta có thể tìm được hàm y từ đạo hàm của nó. Tồn tại vô số nghiệm thoả mãn phương trình trên. Mỗi nghiệm phụ thuộc vào một hằng số tuỳ ý. | CHƯƠNG 7 CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 1. BÀI TOÁN CAUCHY Một phương trình vi phân cấp 1 có thể viết dưới dạng giải được y f x y mà ta có thể tìm được hàm y từ đạo hàm của nó. Tồn tại vô sô nghiệm thoả mãn phương trình trên. Mỗi nghiệm phụ thuộc vào một hằng sô tuỳ ý. Khi cho trước giá trị ban đầu của y là yo tại giá trị đầu Xo ta nhận được một nghiệm riêng của phương trình. Bài toán Cauchy hay bài toán có điều kiện đầ u tóm lại như sau cho X sao cho b X a tìm y x thoả mãn điều kiện y x f x y y a a 1 Người ta chứng minh rằng bài toán này có một nghiệm duy nhất nếu f thoả mãn điều kiện Lipschitz f xzyi - f x y2 I L yi - y2 với L là một hằng sô dương. Người ta cũng chứng minh rằng nếu f y đạo hàm của f theo y là liên tục và bị chặn thì f thoả mãn điều kiện Lipschitz. Một cách tổng quát hơn người ta định nghĩa hệ phương trình bậc 1 y1 fi x y2 f2 yn fn x yizy2z. yn Ta phải tìm nghiệm yi y2 . yn sao cho ỊY x f x X Y a a với Y V ì y1 . F f1 ì f2 . Y v ì y1 y2 . . L yn . 1 fn . l y 360 Nếu phương trình vi phân có bậc cao hơn n nghiệm sẽ phụ thuộc vào n hằng sô tuỳ ý. Để nhận được một nghiệm riêng ta phải cho n điều kiện đầu. Bài toán sẽ có giá trị đầ u nếu với giá trị Xo đã cho ta cho y xo y xo y xo . Một phương trình vi phân bậc n có thể đưa về thành một hệ phương trình vi phân cấp 1. Ví dụ nếu ta có phương trình vi phân cấp 2 y f x y y y a a y a p Khi đặt u y và v y ta nhận được hệ phương trình vi phân cấp 1 li v v g x u v với điều kiện đầ u u a a và v a p Các phương pháp giải phương trình vi phân được trình bày trong chương này là các phương pháp rời rạc đoạn a b được chia thành n đoạn nhỏ bằng nhau được gọi là các bước tích phân h b - a n. 2. PHƯƠNG PHÁP EULER Giả sử ta có phương trình vi phân y x f x y y a a 1 và cầ n tìm nghiệm của nó. Ta chia đoạn xo x thành n phần bởi các điểm chia Xo X1 X2 . Xn x Theo công thức khai triển Taylor một hàm lân cận Xi ta có y Xi i y Xi Xi 1 -X y X Xi 1 -Xi 2 y X X 1 -Xi 3 y X 2 6 Nếu Xi 1 - Xi khá bé thì ta