tailieunhanh - Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán biên soạn Nguyễn Văn Mậu - Phần 2

Cùng tham khảo tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì thi sắp tới được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn. | dễ hơn nhiều so với Bài toán 4. Nhận xét Chúng ta có thể dễ dàng mở rộng bài toán cho trường hợp nhiều ẩn n ẩn Xỵ x-2 . xn đồng thời cho n góc 1 ữ2 . an. Bài toán 4 cũng vậy. Bài toán 4. Giải và biện luận hệ phương trình ẩn là X y zỴ. a x_b y_c z_ p x2 4- y2 z2 q xcosa 4- ycos 3 4- 2COS7 2 COS a cos 3 cos 7 p ợ z cos a 4- y cos p z cos 7 k 7F . X trong đó p 7 0 q 7 0 p 4- q 7 0 0 a 3 7 và thỏa mãn điều kiện sau đây íi cos2 ữ 4- cos2 3 4- cos2 7 1. Hướng dẫn giải. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức p x2 4- y2 4- z2 4- q x cos a 4- y cos 3 4- z cos 7 2 p4- ợ zcosa 4-ỉ cos 4- ZCOS7 không phụ thuộc vào X y z. Cụ thể gọi A là giá trị của biểu thức ii ở trên thế thì ta được a x4- A cos a b y 4- A cos c z 4- A cos 7. Từ đó suy ra _ p a2 4- b2 4- c2 4- q a cos a 4- b cos 3 4- c cos 7 2 p ợ acosoí 4- bcos 3 4- CCOS7 Ị 1 Trả lời. 1 Nếu acosa 4- ỏcos 7 4- CCOS7 7Ỉ 0 hệ có nghiệm duy nhất biểu diễn được dưới dạng X a y b z c p a2 4- b2 4- c2 4- q acosa 4- bcos 3 4- CCOS7 2 cos a cos Ị3 COS 7 p 4- q ữ cos a b cos 3 4- c cos 7 2 Nếu acosa 4- bcos 3 4- CCOS7 0 hệ phương trình vô nghiệm. 3 Nếu a b c 0 thì a COS a 4- b COS 3 4- c cos 7 0 hệ phương trình vô định. Nhận xét. 1 Biểu thức iv của nghiệm của hệ phương trình nhận được từ các hệ thức xuất phát của bài toán bằng cách thay trong đó X y z lần lượt bởi các hằng số a b c đã cho và ngược lại. Như vậy quan hệ R x y z a b c có tính chất đối hợp nghĩa là R x y z a b c R a b c X y z 2 Ngoài ra dễ dàng thiết lập thêm hệ thức đối hợp nữa sau đây X24-ý24-z24- x cosa ycos 3 zcos7 2 a2 b2 c2 acosa bcos 3 ccosỲ 2 v 79 Đề nghị bạn đọc hãy tự kiểm tra hệ thức v này xem là một bài tập. Xuất xứ của bài toán 4. Bài toán đại số 4 trên đây được tác giả bài viết này phát hiện nhân quan tâm đến một phép biến hình đối hợp trong hình học phi Euclide Còn bài toán 3 ở trên là một trường hợp riêng của bài toán 4 này khi cho p 0 . Chú thích. Đặc biệt nếu chọn các góc nhọn a ß 7 thỏa mãn điều kiện i với những x 2 . 3 . 3 giá trị cụ thê chăng hạn cos a