tailieunhanh - Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P5

" Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P5" Nội dung quyển sách bao gồm những kiến thức đòi hỏi học viên phải nắm được về bộ môn Giải tích trong năm thứ nhất bậc đại học. Trong Chương 1 chúng tôi không trình bầy chi tiết về xây dựng trường số thực (để không làm lại phần việc của những người biên soạn giáo trình Số học), mà chỉ sử dụng lát cắt để chứng minh sự tồn tại biên của tập bị chặn, một tính chất quan trọng được dùng nhiều lần trong chương trình Giải. | Bài tập và tính toán thực hành Chương 11 4. Chuôi hội tụ đều Bài 1 Bài 2 Chứng minh rằng để dãy hàm f x hội tụ đều trên tâp X tới hàm f x điều kiện cần và đủ là lim sup rn x 0 trong đó rn x f x - f x . XX xeX Xét sự hội tụ đều của các dãy trên các khoảng tuơng ứng 1 f x x à 0 x 2 b 0 x 1 2 f x x - x -1 0 x 1 3 f x x - x2 0 x 1 4 f x TJ rz 0 x 1 1 x 1 2 1 5 f x ỵ x 2 V -X x X 6 f x Ax xfx 0 x X V 7 f x sin x -X x X 8 f x sin xì -X x X 1 1 9 f x arctan nx 0 x X 10 f x x arctan nx 0 x X Bài 3 Chuỗi V -1 có hội tụ đều trên -x x hay không n 0 2 . X. 1 - x2 . I 7- f- . . . . Bài 4 Chuỗi V x- ---------- có hội tụ đều trên - V2 12 hay không 1 Bài 5 Chứng tỏ dãy hàm f x 0 x 1 1 2 3 . X 1 hội tụ tới f x 0 trên 0 1 nhung không hội tụ đều. Bài 6 Cho dãy hàm f x 2 x2 .2 0 x 1 1 2 3 . x 1 x Chứng minh rằng f x bị chặn đều trên 0 1 và lim f x 0 0 x 1 X nhung không có một dãy con nào hội tụ đều trên 0 1 . 19 9 Bài tập và tính toán thực hành Chương 11 Bài 7 Cho dãy hàm fn x 1 y 1 2 3 . x là số thực. Chứng minh rằng fn x hội tụ đều tới hàm f và ta có f x 1 -. x n ữ đúng với mọi x khác 0 nhưng không đúng khi x 0. 5. Chuỗi lũy thừa Bài 1 Phân tích 1 x 1 x 2 1 x 4 1 x8 dưới dạng chuỗi lũy thừa. Bài 2 Xác định bán kính khoảng hội tụ và nghiên cứu dáng điệu tại các điểm biên của khoảng hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau rn in J_ _x n 1 V3 -2 X 1 n 2 V yiL-x V n v 7 7 V 2n 3 t 1 ị n2 xn n 1 n 6. Chuỗi Fourier Bài 1 Phân tích hàm y sin . I X arcsinl I n dưới dạng chuỗi Fourier. 7. Thực hành tính toán . Thực hành tính giỏi hạn của dãy hàm hoặc tổng của chuỗi hàm Đối với một dãy hàm hoặc chuỗi hàm hội tụ ta có thể dùng MAPLE để tính hàm giới hạn hoặc tổng của chuỗi hàm. Các thao tác giống hệt như tính giới hạn của dãy hoặc tổng của chuỗi số xem thực hành tính toán chưong 2 . Kết quả là một hàm số nói chung phụ thuộc vào biến số x . Bài 1 Tính tổng f x 1 V x . 1 n 1 sum xAn n n 1 exp x 1 - exp -x simplify exp x . Bài 2 Tính giới hạn f x lim 1 n . n x n 20 0 Bài tập và tính toán .