tailieunhanh - Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P4

" Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P4" Nội dung quyển sách bao gồm những kiến thức đòi hỏi học viên phải nắm được về bộ môn Giải tích trong năm thứ nhất bậc đại học. Trong Chương 1 chúng tôi không trình bầy chi tiết về xây dựng trường số thực (để không làm lại phần việc của những người biên soạn giáo trình Số học), mà chỉ sử dụng lát cắt để chứng minh sự tồn tại biên của tập bị chặn, một tính chất quan trọng được dùng nhiều lần trong chương. | Chương 9. TÍCH PHĂN ẦẤC DỊNH x F x Í f t dt . a Hàm này xác định với mọi x EƯ vì f là liên tục . . Định lý cơ bản Định lý Hàm sô F x là khả vi trên ư và F x f x . Chứng minh Ta cần chỉ ra rằng ýxo ư lim F 2 f x. . -x x x - xo Để ý rằng l F x - F xo x - xo - f xo l l x x Í f t dt -Í f t dt x - xo - f xo l 7- 71 Í f t dt - Í f xo dt l Í f t - f xo dt x-xo k x Ix-xoi và x x 1 Í f t - f xo dt 1 Í maxIf Z - f xo dt 1 Ix-x maxIf Z - f xo - z ix x z ix x xo xo Cho nên lim F - F x - f xo lim J f Z - f xo lim sup f x - f xo 0 x xo x - xo x xo e x-xo x xo do f là hàm liên tục. Định lý đã được chứng minh xong. Hệ quả Nêu f là hàm liên tục trên một khoảng thì tồn tại hàm F xác định trên khoảng đó và có đạo hàm là f . Chứng minh Suy ra ngay từ định lý trên. . Công thức Newton-Leibniz Định lý Newton-Leibniz Nêu F là hàm sô xác định trên khoảng ư R và có đạo hàm là f thì b Í f x dx F b - F a . a Chứng minh Ta có 15 0 Chương 9. TÍCH PHÂN ẤẢC DỊNH 7 x dx F x - Ị f t dt f x - f x 0. xx nên F x -Ị f t dt c. Thay x a ta có c F a cho nên F x Ị f t dt F a . a a Từ đây ta có ngay điều cần chứng minh. . Công thức đổi biến Mệnh đề Cho U V là các khoảng bất kỳ trong ÍR. ọ U V là hăm khả vi liên tục f V IR là hàm liên tục. Khi đó Va b e U Ị f Ù W u du Ị f v dv . a p a Chứng minh Đặt F y Ị f v dv Vy e V . Rõ ràng F là hàm khả vi và F f. p a Hàm G x Ị f v dv là hợp của 2 hàm khả vi liên tục F và p cho nên cũng là p a khả vi liên tục. Theo quy tắc lấy đạo hàm của hàm hợp ta có G x F x x f x x Vx dì . Như vây x G x Ị f p u p u du c a với c là một hằng số nào đó. Cho x a ta có c G a 0 và cho x b ta có điều cần chứng minh. . ý nghĩa hình học và ứng dụng của tích phân xàc định . Khài niệm về diện tích của miền mạt phẳng Ta đã từng biết về định nghĩa và cách tính diện tích của hình vuông và hình chữ nhât. Trên cơ sở đó ta tính được diện tích của một hình tam giác bất kỳ bằng cách tách nó thành 2 tam giác vuông nửa của hình chữ nhât . Diện tích của đa giác bất kỳ lại được