tailieunhanh - Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P3

" Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P3" Nội dung quyển sách bao gồm những kiến thức đòi hỏi học viên phải nắm được về bộ môn Giải tích trong năm thứ nhất bậc đại học. Trong Chương 1 chúng tôi không trình bầy chi tiết về xây dựng trường số thực (để không làm lại phần việc của những người biên soạn giáo trình Số học), mà chỉ sử dụng lát cắt để chứng minh sự tồn tại biên của tập bị chặn, một tính chất quan trọng được dùng nhiều lần trong. | Chương 6. ĐẠQ HÀM Chứng minh Nếu f có đao hàm thì lim Ạf 0 vì ngược lại thì f không thể có đạo hàm hữu hạn . Điều này có nghĩa là lim f x f x0 hay f liên tục tại x0. X A o Chú ý Điều khẳng định ngược lại của định lý trên không đúng. Ví dụ hàm số f x x liên tục tại 0 nhưng không có đao hàm tại 0 Thí dụ 4 . . Các phép toán cơ bàn trên đạo hàm Trong mục này ta xét một số tính chất quan trọng của đạo hàm. Nhờ chúng mà ta tính được đạo hàm của những hàm số phức tạp thông qua đạo hàm của các hàm cơ bản. Ví dụ muốn tính đạo hàm của hàm số _ 1 4X 5 x2 7 x 8 9 x2 7x 1 ta không cần phải dựa vào định nghĩa của đao hàm và tìm giới han của biểu thức lim f x Ax - f x ÂxCo Ax mà chỉ cần tính được đạo hàm của đơn thức và cách lấy đạo hàm của tổng của thương . Đổng thời ta cũng tính được đạo hàm của các hàm lôgarit hàm lũy thừa tổng quát hàm lượng giác hàm lượng giác ngược . thông qua việc tính đạo hàm của hàm số exp . hàm số sin . và các quy tắc lấy đạo hàm của hàm hợp hàm ngược . Trước hết ta lưu ý Nhận xét Đạo hàm của hàm hằng f x c với mọi x đồng nhất bằng không. Chứng minh có ngay từ định nghĩa của đạo hàm. . Các phép toán sô học Mệnh đề Nếu f và g là có đạo hàm tại x0 thì f g f .g cũng có đạo hàm tại đó và i f g x0 f x0 g x0 ii x0 f x0 g x0 f x0 g x0 . iii Nếu g x0 0 thì cũng có đạo hàm tại x0 và g f x g x0 f x0 - f x0 g x0 g 0 g2 x0 . Chứng minh i Suy ra ngay từ tính chất của phép lấy giới hạn của tổng hiệu . ii Ta có nhân xét sau đây f x h .g x h - f x g x f x h - f x g x h f x g x h - g x . 10 0 Chương 6. DẠQ HÀM Chia cả 2 vê cho h rồi cho h tiến dần tới 0 lưu ý rằng do tính liên tục của hàm g mà g x h tiến tới g x từ đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh. iii Chứng minh bằng những lâp luân tưong tự. Mệnh đề đã được chứng minh đầy đủ. Hệ quả 1 Nêu f có đạo hàm tại x0 và c là hằng số thì cf có đạo hàm tại x0 và cf Xo cf Xo . Đây là hệ quả của ii trong trường hợp g là hàm hằng . 2 Nêu g có đạo hàm tại x0 và g x0 0 thì cũng có đạo hàm tại x0 và g x g2 x0 Đây .