tailieunhanh - Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P2

" Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P2" Nội dung quyển sách bao gồm những kiến thức đòi hỏi học viên phải nắm được về bộ môn Giải tích trong năm thứ nhất bậc đại học. Trong Chương 1 chúng tôi không trình bầy chi tiết về xây dựng trường số thực (để không làm lại phần việc của những người biên soạn giáo trình Số học), mà chỉ sử dụng lát cắt để chứng minh sự tồn tại biên của tập bị chặn, một tính chất quan trọng được dùng nhiều lần trong. | Chương 3. TÔ pô ÔN TPỤC sổ THỰC Thí dụ a A A A là tâp mở trong R là một tôpô trên R Theo Mệnh đề 2 . b A và 0 là một tôpô trên R. Đây là tôpô tầm thường. c A A A là tâp con của R là một tôpô trên R. Đây là tôpô rời rạc. d A A A là tâp đóng trong R không phải là tôpô trên R vì ii không thỏa mãn. Tôpô thông dụng nhất trên R là tôpô trong Thí dụ a và trong giáo trình ta chỉ nói đến tôpô này. . Lân cận Đinh nghĩa Tập U R được gọi là lân cân của x nêu trong U có một tập mở chứa x. Thí dụ U x -1 x 1 là lân cân của điểm O nhưng không phải là lân cân của điểm -1. Mệnh đề Tập A R mở khi và chỉ khi mọi điểm của A đều có lân cận nằm trọn trong A. Chứng minh Giả thiết A mở. Theo bổ đề với mọi x e A ta tìm được n 1 sao cho x- x A . Tâp x - x là một lân cân của x nằm trọn trong A. Ngược lại lấy xe A bất kỳ. Khi đó có lân cân U của x nằm trọn trong A. Theo định nghĩa U chứa tâp mở V để x e V . Theo bổ đề tổn tại n để x - x V U A . n n Cũng theo bổ đề trên ta kết luân A mở. . Điểm tụ Điểm x e R gọi là điểm tu của tập A R nêu mỗi lân cận của x đều chứa điểm của A khác với x. Thí dụ a A x x n 1 2. thì điểm 0 là điểm tụ của A. n b A 1 2 thì mọi điểm x với 1 x 2 là điểm tụ của A. Mệnh đề Tập A R đóng khi và chỉ khi A chứa mọi điểm tu của nó. Chứng minh Giả thiết A đóng và x là điểm tụ của A. Khi ấ y với mỗi n 1 ta có x - x n A 0 . Chọn an bất kỳ trong tâp giao này. Dãy an hội tụ tới x. nn Vì A đóng nên x e A. Ngược lại cho an A là dãy bất kỳ hội tụ tới x. Khi ấy hoặc là x trùng với một trong các phần tử của dãy và suy ra x e A hoặc là x khác mọi an. Trong trường hợp sau mọi lân cân của x đều chứa vô số phần tử của dãy khác x do đó x là điểm tụ của A. Theo giả thiết x e A và ta kết luân A đóng. 51 Chương 3. TÔ PÔ TUEN TPỤC sổ THỰC . Cơ sỏ lân cận Họ U các tập mở trong R được gọi là cơ sở lân cân trong R nếu với mỗi x eR và mỗi lân cận V của x ta có thể tìm được Ue U sao cho x eU ç V. Thí dụ a U x- x x e R n 1 2 3 . là cơ sở lân cân trong R. Thật vây giả n n sử x e R và V