tailieunhanh - Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P7

"Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P7 " trong bài viết trước, tôi có giới thiệu cuốn Bài tập Giải tích - Tập 1 của dịch giả Đoàn Chi. Đây là bản dịch một trong những cuốn sách bài tập Giải tích nổi tiếng "Problem in mathematical Analysis" của Kaczor và Novak. Hôm nay, xin giới thiệu tập 2 của bộ sách này. Tập này, dày 400 trang, là tài liệu tham khảo quý giá cho những người dạy Toán và học Toán ở Việt Nam | . Cấc ứng dụng của đạo hàm 293 . Vì f0 x xne x nên ta suy ra nó chỉ bằng 0 tại gốc toạ độ hơn nữa nếu n chẵn thì f 0 x 0 vổi x 0 do đó trong trương hơp này f không có cực trị. Mặt khác nếu n lẻ thì f0 x 0 khi x 0 và f x 0 vổi x 0 nên vổi các giá trị n lẻ ta có f 0 1 là cực đại của f. . Đạo hàm f0 x m n xm-1 1 x -1 m n n bằng 0 tại duy nhất x0 0 khi m 1 tại x1 1 khi n 1 và tại x2 m n . Ta dễ dàng thử rằng f x2 1 chính là cực đại địa phương của f hơn nữa nếu m lẻ thì f x0 0 là cực tiểu địa phương của f Mặt khác nếu m lẻ thì 0 không là cực trị của f Hoàn toàn tương tự ta có khi n chẵn f x1 0 là cực tiểu địa phương của f và khi n lẻ thì x1 không thể là điểm cực trị của f . Từ bài trên ta có f đạt cực đại f x mmmỴ tại điểm x thoả mãn phương trình sin2 x - . m n . Vổi x 0 1 ta có f x 1 j- x . 9 p x2 1 x Vạy f0 x 0 tại x 1. Hơn nữa f0 x 0 khi x 2 0 1 và f0 x 0 khi x 2 1 1 do đó f 1 34 là cực đại địa phương của f Hàm f không khả vi tại 0 và 1. Bên cạnh đó do f x 0 vổi x 2 0 1 và f x 0 vổi x 0 nên f không đạt cực trị tại 0 nhưng f 1 0 là cực tiểu địa phương của f vì f x 0 f 1 vổi x 1 và vổi x 2 0 1 . Hình vẽ . Ta có f x arcsin x suy ra điểm cực trị chính là nghiệm của f vì f 0 1 và f 1 f 1 2 nên 2 là giá trị cực đại và 1 là giá trị cực tiểu của f trên 1 1 . 294 Chương 2. Vi phân . Vổi x 1 ta có f0 x 0 suy ra f x f 1 3. Với x 2 0 1 4-0 C C - 0 í1 0 F0 rT 0 nAi1 p ío 1 Trò 0f 0 yrpỉi T í1 1 TTOXT t i có f 2 o f x o -IXkílx x __ O 2Ị v x f x o Vớ x _ 2 1 v ạy f 2 3 là cực tiểu địa phương của f. Với x 0 đạo hàm f 0 dương suy ra f 0 f x . Vạy giá trị cực đại của f là f 0 f 1 3. Mặt khác vì lim f x 2 xu lim f x 0 và f x 0 với mọi x 2 R nên cạn trên đúng của fR là 0 x 1 nhưng hàm f không có cực tiểu trên R. . a Giá trị cực đại của hàm x xe x x 0 là f 1 1 vạy 1 n 7 X ak e a n 1 n 1 n e 1 e b Như a ta chỉ cần tìm giá trị cực đại của hàm x x2e x x 0 c Nếu một trong các hệ số ak 0 thì ta suy ra ngay bất đẳng thức cần chứng minh giả sử ak 0