tailieunhanh - Dãy số Trần Nam Dũng

Về các dãy số xác định bởi dãy các phương trình Trần Nam Dũng – ĐH KHTN Tp HCM Trong toán học, có rất nhiều trường hợp ta không xác định được giá trị cụ thể đối tượng mà chúng ta đang xét (ví dụ số, hàm số) nhưng vẫn có thể thực hiện các phép toán trên các đối tượng đó. Ví dụ ta có thể không biết giá trị các nghiệm của một phương trình, nhưng vẫn biết được tổng của chúng: “Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos5x – 5cos3x + 3cosx – 1 = 0 trên. | về các dãy số xác định bởi dãy các phương trình Trần Nam Dũng - ĐH KHTN Tp HCM Trong toán học có rất nhiều trường hợp ta không xác định được giá trị cụ thể đối tượng mà chúng ta đang xét ví dụ số hàm số nhưng vẫn có thể thực hiện các phép toán trên các đối tượng đó. Ví dụ ta có thể không biết giá trị các nghiệm của một phương trình nhưng vẫn biết được tổng của chúng Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos5x - 5cos3x 3cosx - 1 0 trên đoạn 0 2rc . hay là tính tích phân của một hàm mà ta không có biểu thức tường minh Chứng minh rằng với mọi t 0 phương trình x3 tx - 8 0 luôn có 1 nghiệm 7 dương duy nhất ký hiệu là x t . Tính j x t 2 dt. 0 Trong bài viết nhỏ này chúng ta sẽ đề cập đến một tình huống căn bản khác đó là khảo sát những dãy số xác định bởi dãy các phương trình Cho dãy các hàm số fn x xác định bởi công thức tường mình hoặc truy hồi thoả mãn điều kiện các phương trình fn x 0 có nghiệm duy nhất xn e D. Cần khảo sát các tính chất của xn như khảo sát sự hội tụ tìm giới hạn . Chúng ta bắt đầu từ một bài toán thi tuyển sinh vào khoa Toán trường Đại học Độc lập Matxcơva năm 2000 Bài toán 1. Ký hiệu xn là nghiệm của phương trình --1----F . H- 0 x x -1 x - n thuộc khoảng 0 1 a Chứng minh dãy xn hội tụ b Hãy tìm giới hạn đó. Bình luận xn được xác định duy nhất vì hàm số fn x 1 . 1 liên x x -1 x - n tục và đơn điệu trên 0 1 . Tuy nhiên ta không thể xác định được giá trị cụ thể của xn. Rất may mắn để chứng minh tính hội tụ của xn ta không cần đến điều đó. Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu và bị chặn là đủ. Với tính bị chặn mọi thứ đều ổn vì 0 xn 1. Với tính đơn điệu ta chú ý một chút đến mối liên hệ giữa fn x và 1 x - n -1 fn 1 x fn 1 x fn x fn 1 x fn x Đây chính là chìa khoá để chứng minh tính đơn điệu của xn. Lời giải Rõ ràng xn được xác định 1 cách duy nhất 0 xn 1. Ta có fn 1 xn fn xn 1 xn-n-1 1 xn-n-1 0 trong khi đó fn 1 0 0. Theo tính chất của hàm liên tục trên khoảng 0 xn có ít nhất 1 nghiệm của fn 1 x . Nghiệm đó chính là xn 1. Như thế ta đã chứng minh được