tailieunhanh - Đáp án và đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 12

Tài liệu tham khảo Đáp án và đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 12 | Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o thanh ho¸ §Ò chÝnh thøc Sè b¸o danh Kú thi chän häc sinh giái tØnh N¨m häc: 2009 - 2010 M«n thi: To¸n Líp: 12 THpt Ngµy thi: 24/ 03/ 2010 Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò thi) §Ò nµy cã 05 bµi gåm 01 trang Bµi 1: (4 ®iÓm) Cho hµm sè y = - x3 + 3x - 1 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. 2. ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (C) kÎ tõ ®iÓm M(-2; 1). Bµi 2: (6 ®iÓm) 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh : 3. T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó bÊt ph­¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi x . Bµi 3: (3 ®iÓm) 1. TÝnh tÝch ph©n: I = 2. Tõ c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5 cã thÓ lËp ®­îc bao sè tù nhiªn gåm bèn ch÷ sè kh¸c nhau, trong ®ã ph¶i cã ch÷ sè 2 vµ 4 ? Bµi 4: (5 ®iÓm) 1. Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCDA'B'C'D' có c¹nh bằng a. Trªn các c¹nh BC vµ DD' lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm M vµ N sao cho BM = DN = x ( ). Chøng minh rằng MN AC' vµ t×m x ®Ó MN cã ®é dµi nhá nhÊt. 2. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ®­êng trßn (C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 vµ ®­êng th¼ng 3x - 4y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®­êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm P mµ tõ ®ã cã thÓ kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn PA vµ PB tíi (C) (A, B lµ c¸c tiÕp ®iÓm) sao cho PA PB. 3. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm M(1; 2; 3). ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua ®iÓm M vµ c¾t ba tia Ox, Oy, Oz lÇn l­ît t¹i A, B, C sao cho thÓ tÝch tø diÖn OABC nhá nhÊt. Bµi 5: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC kh«ng tï. Chøng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? HÕt SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 5 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT Ngày thi: 24 - 3 - 2010 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) 0,25 0,25 Điều kiện: Hệ phương trình đã cho 0,5 Xét phương trình: 4(x - y) = Đặt t = x - y > 0 Nhận thấy: t = 1 và t = là nghiệm của phương trình. Xét hàm số f(t) = (t > 0) f'(t) = 4 - ln4 f'(t) = 0 có duy nhất một nghiệm: 0,5 Đặt t = t2 = -x2 + 2x + 24 x2 - 2x = 24 - t2 Xét hàm số f(t) = -t2 + t + 24 trên đoạn Ta có bảng biến thiên sau: Từ đó suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 0,25 * Trường hợp 2: Trong X không có chữ số 0. Có bốn cách xếp chữ số 2; ba cách xếp chữ số 4 và cách xếp ba chữ số 1; 3; 5. Đặt thì ; và Vậy MN vuông góc với AC' Gọi tâm đường tròn (C) là I (1; -2) và bán kính R = 3 Giả sử có điểm P thoả mãn bài toán tứ giác APBI là hình vuông cạnh bằng 3 Gọi giao điểm của ( ) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0); B(0; b; 0); C(0; 0; c) với a, b, c > 0 Phương trình ( ): Do ( ) đi qua điểm M Thể tích tứ diện OABC là Áp dụng bắt đẳng thức Côsi,ta có: Giá trị nhỏ nhất của V = 27 đạt được khi a = 3; b = 6; c = 9 Phương trình mặt phẳng ( ) là: Không mất tính tổng quát, giả sử Vì tam giác ABC không tù Đặt x = tan ; y = tan ; z = tan thì 0 < z y x 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 1 - x; 1 - y; 1 - z ta được: Vì xy + yz + xz = tan tan + tan tan + tan tan = 1 Suy ra: Vì x + y + z nên Từ đó suy ra điều cần chứng minh. 0,25 GHI CHÚ Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.