tailieunhanh - Tuyển tập phương trình hàm - Lữ Võ Hoàng Phúc

Tài liệu "Tuyển tập phương trình hàm" được biên soạn bởi tác giả Lữ Võ Hoàng Phúc với mục đích củng cố kiến thức toán học chuyên đề phương trình hàm cho các em học sinh. Thông qua tài liệu này, các em sẽ nắm được nội dung cũng như vận dụng giải các bài tập một cách nhanh và chính xác nhất. Chúc các em học tập thật tốt nhé! | Tuyển Tập Phương Trình Hàm Lữ Võ Hoàng Phúc Ngày 7 tháng 9 năm 2022 Bài toán . Tìm tất cả các hàm số f R R thỏa mãn f x f y f x yf x x y R . Lời giải. Nhận xét. f x 1 x gt 0. Giả sử tồn tại x0 gt 0 sao cho 1 gt f x0 gt 0. Từ P x0 1 fx x suy ra0 0 x0 x0 f x0 f f f x0 0 1 f x0 1 f x0 mâu thuẫn. Vậy f x 1 x gt 0. Nhận xét. f không giảm. y Từ P x f x suy ra y f x y f x f f x x y R . f x Vậy f không giảm. Trường hợp. f x gt 1 x gt 0. Từ trên dễ dàng suy ra f tăng ngặt. Từ P y x và đối chiếu với P x y suy ra f x yf x f y xf y x y R . Do f tăng ngặt nên x yf x y xf y x y R . Từ đây cho y 1 ta được f x αx 1 x R với α f 1 1 gt 0. Thử lại ta thấy hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1 Lữ Võ Hoàng Phúc Ngày 7 tháng 9 năm 2022 Trường hợp. Tồn tại x0 gt 0 sao cho f x0 1. Từ P x0 y suy ra f y f x0 y y R . Bằng quy nạp ta được f y f y nx0 y R . Giả sử 0 lt y lt x do f không giảm nên f y f x . Tồn tại n N đủ lớn để x lt y nx0 f x f y nx0 . Hay f y f x f y nx0 f y . Suy ra f là hàm hằng. Thử lại ta được f x 1 x R . Tất cả các hàm số cần tìm là f x αx 1 và f x 1. Bài toán . Tìm tất cả các hàm số f R R thỏa mãn f xf y f y f x y x y R . Lời giải. Nhận xét. Trường hợp f đơn ánh. x Từ P f y y suy ra x f x f y f y x y R . f y y Từ P f x x suy ra y f x f y f x x y R . f x Suy ra x y f y f x x y R . f y f x Do f đơn ánh nên x y y x x y R . f y f x Từ đây cho y 1 suy ra x 1 1 x x R . f 1 f x Hay 1 x R f x αx 1 1 trong đó α f 1 1. Do f đơn ánh nên α ̸ 0 . Và f x gt 0 nên αx 1 gt 0 α gt 0. Vì nếu α lt 0 cho x mâu thuẫn. Thử lại với mọi α gt 0 hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Lữ Võ Hoàng Phúc Ngày 7 tháng 9 năm 2022 Nhận xét. Trường hợp f không đơn ánh. Hay tồn tại tại 0 lt x1 lt x2 sao cho f x1 f x2 α gt 0. Từ P x1 y ta suy ra αf y f x1 αy y R . Từ P x2 y ta suy ra αf y f x2 αy y R . Do đó f x1 αy f x2 αy y R . x Từ trên thay y bởi α ta được f x f x δ x gt x1 Với δ x2 x1 gt 0 . Bằng quy nạp ta được f x f x nδ x gt x1 n N . Giả sử tồn tại hai số dương u ̸ v sao cho f u ̸ f v . Ta giả sử