tailieunhanh - Ví dụ tích phân

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về Ví dụ tích phân có lời giải | Lời giải Cho x y l l l . l W l l vì l 0 l l. Í yf y f fự yf y f y ì y y y Mặt khác y y r 1 yf y f f 7 yf y f yf y yf y f f y 1 1 . yf y I Vì y 0 nên yf y ệ Q l W Q u z f y j Vy e 0 . Thử lại thấy đúng. y Ví dụ 13 Tìm f R R thỏa mãn 0 4 w 3 e R f a-y f x f a- x f y f x y Vx yeR b Lời giải Cho x y o b f a . Cho y 0 xe R ta được x x . o . a-x x ư-x c . Cho y a-x xe R ta được f ư a-x d . 4 -4 thì 2 -V61í Vậy f x Vxe R. Thử lại thấy đúng. Neu 3xữ e R sao cho f xo 16 Ví dụ 14 Tìm f R R thỏa mãn f x - y 2 x2 - 2y f x f y 2 Vx y e R 14 . Lời giải Cho x y 0 f 0 f 0 2 f 0 0 f 0 1 Nếu f 0 0 Cho J y ta được f x2 x2 f t t Vt 0 t x e R ỵ Cho x y e R ta được f 0 x2 - 2xf x f x f x -x 0 f x x. Thử lại thấy đúng. Nếu f 0 1 Cho J y ta được f x2 x2 1 f t t 1 Vt 0. x e R Cho x 0 y e R ta được f y2 -2y f y 2 f y 2 f y2 2y f y y 1 f y -y-1 y2 1 2y y 1 2 Giả sử B yo e R sao cho f yo -yo -1. Chọn x y yo ta được 1 yo2 - 2 yof yo f yo 2 f yo yo-1 f yo yo 1 Nếu f yo yo-1 - yo-1 yo-1 yo 0 và f 0 -1 Uoậ . Nếu f yo yo 1 - yo-1 yo 1 yo -1 f -1 0. Thỏa mãn f yo yo 1. Vậy f y y 1 Vy e R. Thử lại thấy đúng. Ví dụ 15 Tìm f R R thỏa mãn f f x- y f x f y -f x f y -xy Vx y e R 15 . Lời giải Cho x y 0 f f 0 f 0 2. Đặt f 0 a f a a2. Cho x y e R f x x2 f a f x x2 a2 . f x 2 f -x 2 f x f -x f x - f -x Nếu 3xo e R sao cho f xo f -xo Chọn x 0 y -xo f f xo af -xo -a f -xo a . 17 Chọn V 0 x -xo f f xo af xo a- f xo b . a b a f xo - f -xo - f xo f -xo 2a 0 c . Vì f xo f -xo nên f xo a giả thiết xo e R. Vậy f x - f -x Vxe R. Ta thấy c không phụ thuộc vào xo nên ta có a f x - f -x - f x f -x 2a 0 c . Thay f x - f -x suy ra . 2 2 . 2 xo a a x0 a xo 0 trái với a f x 1 0 Ö a 0 f x -1. 9 Nếu a 0 f x x2 Ö f x x f x -x Giả sử tồn tại xo e R để f xo xo. Khi đó b suy ra xo f xo axo a - xo xo 0 trái giả thiết xo e R . Vậy f x -x Vx e R. Thử lại thấy đúng Nếu f x -1 Vxe R . Thử lại ta được 15 Ö xy 2 Vx Ve R. Vô lí. Vậy hàm số cần tìm là f x Nhận xét Có một suy luận hay nhầm lẫn được sử dụng các VD x .