tailieunhanh - Chương 6: Khảo sát dãy số và phương trình sai phân

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP . Chương 6: Khảo sát dãy số và phương trình sai phân. . | 252 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân Từ định nghĩa ta có r 1 Ị e-xdx -e 0 1 1 . 0 r n I Tích phân từng phần ta được t t S -r-v- . - 4 x- . 00 Dùng Định lý L Hospital ta có -tn-1e-t tiến đến 0 khi t ra œ. Vì vậy xn-1e xdx n 1 x ra-1 -1e-xdx 00 hay r n n - 1 r n - 1 và thay n bởi n 1 ta được r n 1 nr n r n r n 1 . Từ suy ra r n n - 1 r n - 1 n - 1 n - 2 r n - 2 n - 1 n - 2 n - 3 3 2 1 r 1 n - 1 Từ ta được r 1 1 do đó r n n - 1 . Người ta đã tính được các giá trị của r n với 1 n 2 và nhờ các công thức và ta có thể tính r n với mọi giá trị dương của n. . Tính tổng bằng phương pháp sai phân 253 Ví dụ . a. r r . h rtíì ÍZ r l-6 I JOQ 0. 1 0-6 0-6 . c. r n. Với n là số thực âm ta sẽ dùng công thức để tính r n . r 0-6 r 1-6 Ví dụ . r -0-4 0-4 0-6 Chú ý . Người ta chứng minh được rằng với n 0 và n nguyên âm thì r n không xác định. Hàm Beta Hàm Beta được định nghĩa bởi 3 m n Ị xm-1 1 x n-1 dx . 0 Hàm Beta xác định với mọi m n 0. Đặt y 1 x ta có xm-1 1 x n-1dx Ị yn-1 1 y m-1dy 3 n m . 00 Tiếp theo ta sẽ tìm mối liên hệ giữa hàm Gamma và hàm Beta. Trong đặt x z2 dx 2zdz ta được r n 2 -1 e- dz 0 Từ đó ta có 2 x2m-1dx 0 r n 2 Ị e-y2y2n-1dy 0 3 m n 254 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân r m r n e-x2-y2 x2m-1y2n-1dydx. Chuyển sang tọa độ cực ta có r m r n 7T rc 2 7- 2 9rn 1 1 9rn 1 ọ r 1 1 9 1 1 7 1 e r r 1 cos e 1r2n 1 sin e 1rdrde 0 0 2 2 Ị e-r2 r2 m n -1 dr 2 Ị cos e 2m-1 sin e 2n-1de 00 2 r m n 2 Ị cos e 2m-1 sin e 2n-1 de. 0 Ta sẽ chứng minh rằng 2 0 2 cos n 0 Đặt x cos2 e 1 x sin2 e dx 2 cos e sin ede. Ta được Ị cos2 ớ m-1 sin2 ớ n-1 -2cos 6 sin ddd 0 n 2 2 y cos e 2m-1 sin e 2n-1de. 0 Vậy ta có r m r n r m n ß m n hay ß mn r m r n ß m n r m n