tailieunhanh - Giáo trình hình học: Mặt cầu

Trong không gian metric ba chiều, mặt cầu là quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cho trước một khoảng không đổi R. Điểm O gọi là tâm và khoảng cách R gọi là bán kính của mặt cầu. Tập hợp các điểm trong không gian nằm bên trong mặt cầu và bản thân mặt cầu hợp thành khối cầu hay hình cầu. Mặt cầu là một đối tượng hình học đối xứng hoàn hảo. Trong toán học, thuật ngữ này là bề mặt hay biên của một hình cầu | Chương 3 MẶT CẦU 1. TÓM TẮT LÍ THUYẾT Phương trình măt cầu Hình cầu tâm tại I x0 y0 z0 và bán kính R là x - x0 2 y - y0 2 z - z0 2 R2 Phương trình mặt cầu tổng quát có dạng X2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 với a2 b2 c2 - d 0. 1 Dưới dạng này thì tâm hình cầu là I -a -b -c và bán kính hình cầu R 7a2 b2 c2 - d . VỊ trí tương đối giữa mặt phẳng và hình cầu Cho hình cầu .7 x - x0 2 y - y0 2 z - zơ 2 R2 và mặt phẳng P Ax by Cz D 0 là khoảng cách từ tâm I x0 y0 z0 tới P . - Nếu h R thì P và .7 không cắt nhau. - Nếu h R thì P và .7 tiếp xúc với nhau. Lúc đó nếu gọi M là tiếp điểm của P với .7 thì IM R và IM P . - Nếu h R thì P và .7 cắt nhau theo một giao tuyến là đường tròn. 90 Tâm K của đường tròn giao tuyến chính là hình chiếu của tâm I trên P còn bán kính r của đường tròn giao tuyến được xác định như sau 2. CÁC DẠNG TOÁN cơ BẢN Loại 1. Các bài toán viết phương trình mặt cầu Thí dụ 1. Đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng khối D - 2004 Cho ba điểm A 2 0 1 B 1 0 0 C 1 1 1 và mặt phẳng P x y z- 2 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua A B c và có tâm thuộc P . Giải Phương trình tổng quát của mặt cầu qua A B c là . X2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 với a2 b2 c2 d. 1 Khi đó .7 có tâm là I -a -b -c . Từ đó ta đi đến hệ phương trình sau để xác định a b c d 4 1 4a 2c d 0 2 1 2a d 0 3 3 2a 2b 2c d 0 4 -a - b - c - 2 0. 5 2 3 4 có được do Ợ qua A B c còn 5 có được do tâm 1 a -b -c e P . Dễ thấy hệ 2 3 4 5 cho nghiệm a -l b 0 c -l d 1. Vậy mặt cầu Ợ cần tìm có phương trình 2 2 2 _ n X y z 1 0 . 2 2 . 2 x-1 y x-1 1. Đó là mặt cầu tâm tại 1 1 0 1 và bán kính R 1. 91 Chú ỷ 1 Ta có cách giải khác sau Giả sử I x0 y Z là tâm của mặt cầu và R là bán kính của nó. Khi đó ta có x0 Yo z0 0 IA2 IB2 IC2 R2 x0 Yo z0 - 2 0 x0 - 2 2 yẳ z0 - l 2 x0 - l 2 yj zj x0 - l 2 y2 zg x0 - l 2 y0 - l 2 z0 - l 2 XO Yo z0 - 2 0 -4x0 4 - 2z0 1 -2x0 1 -2x0 1 -2x0 - 2y0 - 2z0 3 x0 Yo z0 - 2 0 x0 z0 2 Yo ZO 1 x0 1 Yo 0 ZO 1- Từ đó thay vào trên ta có R 1 vậy mặt cầu .7 có phương trình .70 x - l 2 y2 z - l 2 1. Ta thu lại kết quả trên