tailieunhanh - Giáo trình toán học Tập 4 P15

Giải tích phức có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khác của toán học, trong đó có lý thuyết số và toán ứng dụng. Một trong những đối tượng chính của giải tích phức là các ánh xạ giải tích phức, thường gọi là các ánh xạ chỉnh hình. Vì phần thực và phần ảo của một hàm giải tích một biến thỏa mãn phương trình Laplace, nên giải tích phức được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán vật lý hai chiều. . | Chỉ dẫn và trả lời 425 VỚI xe l oũIAe -l Vre O cc y 1e f Ấe t . Ký hiệu với neN 0 oo - R Vối mọi n thuộc liên tục từng khúc và khả tích trên 0 oo í-1e r y n hội tụ dơn và có tổng S ri- - nàO 1-JU 5 liên tục từng khúc trên 0 oo f c I n dz hội tụ vì vói mọi n N nso f í dr a rV hr dt -W Jo 1 1 1 1 Jo i r n l j Jo J rnx r x - n 1 1 n l và y hội tụ vì X 1. Theo Định lý 2 ta suy ra s khả tích trên O oo công có thề thấy trực ttépđiỂu này và -KO 2 . 2. JBTV1- 1 f W yí . 0 -y7-7 r- Jo ốJo Với n 2 ký hiệu fn 2 oo - JCI ỉ- Với mọi n ù 2 fn liên tục từng khúc và khả tích trtn 2 co y . hội tụ dơn trtn 2 oo và có tổng S 2 oo - R X ÍTO-t I 2 x s s liên tục từng khúc trên 2 co vl Ç liên tục trên 1 oo y J Ị n jr dr hội tụ vì với mọi n n 2JĨ và y Ï hội tụ. Theo Định lý 2 s khả tích trên I2 oo và foo 2 4-đ5 H 426 Chương 4 Dãy và chuỗi hàm I ỉ Cho Po eĩ y 0 x0 0 xq y0 e R2 pec p x iy x y eR2 sao cho X a JT0 . Ta có Vr e ữ ao ịe 7ơ Í-Jr r í w kPo7 í . VI Pa e ĩ y r l- e ị khả tích trỄn 0 oo nên 11- e- 7ơ khả tích trên 0 oo và vây Pữ 2 Ánh xạ t f- e p ỉnea khả tích trên 0 X nếu và chỉ nếu Re - a 0 tức tà Re p Re đ . Với mọi p e c mà Re p Re a . một phép tích phân từng phần ở đây được phép cho ta W r eto p Bdf 4- - 1 - r ỉ- n n_idf r a p tn id Jo L - -lo ỉo a p p-aio nếu n 1. Khi đó một phép quy nạp đơn giản cho ta W _ _r -pVd L p-ít p-aỴ 0 Trảlừi Vị pe C Re p Re a ơf Re đ Vpa0 .ơ p _íL_. 3 Ờ đây ký hiệu ỉ Ị ỊxeR x xR ĨyỊ Vây ta có y ơỵ n hay loy oo và Vị Ịf xR . Ánh xạ F y z - f t liên tục trtn ựy xR x ơy co và với mọi Xn e If ánh xạ 0 lữ cỊ - R liên tục tírng khúc 0 khả tích trtn LO co . Theo định lý về tính liên tục dưới dấu J với giả thiết bị chặn trÈn địa phương xem Tạp 3 1 Mênh đỀ ta kết Luân rằng liên tục ưên Vp 4 ai Cho p e c sao cho Re p Max . Khi dó r H e p f t và t - e- g t khả tích trên fO -K vậy r w e pỉ Ằf g r khà tích trên 0 co và e- Ằf g í dr Ẳ V 7 dr e-í gơ df từ đó ctí các kết quả đòi hỏi. b Ị Cho p e