tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 4 - Võ Duy Minh

Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 4 Chuỗi, cung cấp cho người học những kiến thức như: Chuỗi số và Chuỗi hàm. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung bài giảng! | Chương IV Chuỗi Chuỗi số Chuỗi hàm 51 Chuỗi số Định nghĩa u1 u2 u n un n 1 được gọi là một chuỗi số ký hiệu u n 1 n 1 1 1 1 Ví dụ 1 2 3 n n 1 n 52 Định nghĩa tổng của chuỗi n S n u1 u2 un uk n 1 Nếu lim S n S thì chuỗi đgl hội n n tụ và có tổng là S Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ và không có tổng 53 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ Nếu u1 u2 u n n u n 1 hội tụ thì lim u n 0 Tương n đương Nếu lim u n 0 thì chuỗi cho phân kỳ n n 1 Ví dụ phân kỳ n 1 2 n 3 n 1 1 Vì lim 0 n 2n 3 2 54 Ví dụ 1 1 1 1 a n 1 un n 1 n n 1 . n n 1 . 1 1 1 Vì n n 1 n n 1 nên n 1 1 1 1 1 Sn . 1 k 1 k k 1 n n 1 n 1 1 S lim Sn lim 1 1 n n n 1 Vậy chuỗi cho hội tụ và có tổng là 1 55 Ví dụ b aq n 1 n 1 vôù i a 0 chuỗi số nhân Chuỗi trên hội tụ nếu q Chuỗi số dương và các tiêu chuẩn hội tụ Định nghĩa đgl u n 1 n chuỗi số dương nếu mọi số hạng của chuỗi đều dương Cho u n 1 n và n v là hai chuỗi số dương n 1 Tiêu chuẩn so sánh 1 Cho un v n Nếu vn hội tụ thì u n 1 n hội tụ n 1 Nếu phân u kỳ thì n 1 n vn kỳ phân n 1 57 Ví dụ Xét sự hội tụ của các chuỗi sau 1 1 1 1 n n 1 3 n3 n Hội tụ 3 n3n n 3 3 1 1 1 n 1 3 n Phân kỳ n 3 n 58 Tiêu chuẩn so sánh 2 un k lim n v n Nếu k và 0 hộiv tụ thì n 1 n hộiu tụ n n 1 Nếu k và pkỳ v thì n pkỳ un n 1 n 1 Nếu k thì gt 0hai chuỗi cho có cùng tính chất 59 Ví dụ Xét sự hội tụ của các chuỗi sau 2n 2n 3n 2 1 2 n 1 3n 1 2 Phân kỳ vì lim n 1 3 1 n n 1 n Phân kỳ 2n 2n n 1 n 1 .3 n Hội tụ vì lim n n 1 3n 1 2 3 n 1 n 1 3 n Hội tụ 60 Tiêu chuẩn Cauchy un n 1 k lim n n un Nếu 0 k lt 1thì hộiu tụ n 1 n Nếu kthì gt 1 pkỳ un n 1 Nếu k thì 1chưa thể kết luận được gì 61 Ví dụ Xét sự hội tụ của các chuỗi sau n n 1 2n 1 Hội tụ n 1 n 1 n n Hội tụ n 3n 1 2n 1 n 1 Pkỳ n 2 ln n n Hội tụ 62 Tiêu chuẩn dAlembert u n 1 u n k lim n u n 1 n Nếu 0 k lt 1thì hộiu tụ n 1 n Nếu kthì gt 1 pkỳ un n 1 Nếu k thì 1chưa thể kết luận được gì 63 Ví dụ Xét sự hội tụ của các chuỗi sau n 1 2 n 1 n Hội tụ n 1 n Pkỳ n 1 n 1 n 1 Pkỳ n 1 n n 1 Hội tụ 64 Tiêu chuẩn Tích phân u n 1 n u1 u2 u3 và f x .