tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 3 - Võ Duy Minh

Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 3 Tích phân, cung cấp cho người học những kiến thức như: Nguyên hàm và tích phân bất định; Tích phân xác định; Tích phân suy rộng. Mời các bạn cùng tham khảo! | Chương III TÍCH PHÂN Nguyên hàm và tích phân bất định Tích phân xác định Tích phân suy rộng 1 Nguyên hàm và tích phân bất định Cho hàm số f x xác định trên a b . Hàm số F x đgl một nguyên hàm của f x trên a b nếu F x f x Nếu F x _ nguyên hàm của hàm f x trên a b thì F x C là nguyên hàm của hàm f x vì F x C F x f x Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f x trên a b được gọi là tích phân bất định của hàm f x trên a b KH f x dx f x hàm số dưới dấu tích phân f x dx biểu thức dưới dấu tích phân f x dx F x C F x f x 2 Tích phân một số hàm sơ cấp f x dx f x Af x Bg x dx A f x dx B g x dx 0dx C 1dx dx x C 1 n 1 dx x dx n 1 x C x ln x C n a x a dx ln a C x 3 Tích phân một số hàm sơ cấp cos xdx sin x C sin xdx cos x C 2 dx 1 tg x dx cos2 x tgx C dx 1 cot g x dx sin2 x cot gx C 2 dx 1 x2 arctgx C arccotgx C dx 1 x a2 x2 a arctg a C 4 Tích phân một số hàm sơ cấp dx 1 x a x2 a2 2a ln x a C dx 1 a x a2 x2 2a ln a x C dx arcsin x C arccosx C 1 x2 dx x arcsin C a2 x 2 a dx x2 a ln x x 2 a C 5 Phương pháp tính tích phân PP đổi biến Nếu hàm số x ϕ t có đạo hàm liên tục và có hàm ngược t ϕ-1 x thì f x dx f ϕ t ϕ t dt F t C F ϕ 1 x C dx VD 1 I Đặt t x x t2 dx 2tdt 1 x tdt 1 I 2 2 1 dt 1 t 1 t 2 t ln 1 t C 2 x ln 1 x C 6 Phương pháp tính tích phân PP đổi biến dx VD 2 I sin x x 2dt Cách 1 Đặt t tg x 2arctgt dx 2 1 t2 2t dt x s inx I ln t C ln tg C 1 t 2 t 2 Cách 2 dx sin xdx d cos x 1 1 cos x I ln C sin x 2 sin x 1 cos x 2 1 cos x 2 7 PP tích phân từng phần udv uv vdu 1 Tính các tích phân dạng I P x e dx J P x sin axdx K P x cosaxdx ax Đặt u P x với P x là đa thức x ln xdx k kx 2 Tính L α α 1 đặt u ln 3 Tính M P x arcsin x dx N P x arctgx dx n n Đặt u arcsinx hay u arctgx 8 PP tích phân từng phần udv uv vdu Tính các tích phân sau I xe dx 2x K x arctgxdx 2 2 J x e dx 2 2x ln x L 2 dx x 9 Tích phân các phân thức đơn giản ln x a C khi n 1 dx x a n 1 1 n x a n 1 C khi n gt 1 dx x 1 4 1 VD 1 x 1 d x 1 3 C C x 1 3 4 4 x 1 4 xdx 1 d x 1 1 2 2 VD 2 2 2 ln x 1 C x 1 2 x 1 2 dx 1 x dx 1 x a a2 .