tailieunhanh - Nghịch đảo nhóm của một số dạng ma trận đặc biệt

Khái niệm nghịch đảo Drazin ra đời vào năm 1958 bởi nhà toán học Drazin mà khi mới ra đời ông gọi là nghịch đảo suy rộng. Lý thuyết nghịch đảo Drazin đã phát triển một cách nhanh chóng và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như phương trình vi phân, lý thuyết đồ thị, lý thuyết mật mã. Bài viết trình bày một số kết quả mới gần đây về nghịch đảo nhóm. | NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ Khoa Toán học 1 GIỚI THIỆU Khái niệm nghịch đảo Drazin ra đời vào năm 1958 bởi nhà toán học Drazin mà khi mới ra đời ông gọi là nghịch đảo suy rộng. Lý thuyết nghịch đảo Drazin đã phát triển một cách nhanh chóng và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như phương trình vi phân lý thuyết dồ thị lý thuyết mật mã. . . Vì vậy ngay từ khi mới ra đời đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Việc đi tìm một biểu diễn tường minh cho nghịch đảo Drazin của ma trận bất kỳ là một vấn đề không hoàn toàn đơn giản. Năm 2009 Catral Olesky và Driessche đã cho một biểu diễn cho nghịch đảo Drazin của ma trận hai thành phần. Năm 2010 trong khóa luận của mình Nguyễn Tý cho một biểu diển nghịch đảo Drazin khi hạng của ma trận nhỏ hơn hoặc bằng 1. Năm 2010 Kyrchei đã thiết lập một biểu diển nghịch đảo Drazin qua trận phụ hợp. Kết quả này được Thanh Hương tổng quan lại một cách hệ thống trong khóa luận của mình vào năm 2011. Năm 2011 X. Liu L Wu and J. Benitez đã thiết lập một biểu diển cho nghịch đảo nhóm của tổ hợp tuyến tính của hai ma trận khả nghịch nhóm. Ta biết rằng nghịch đảo nhóm là một trường hợp đặc biệt của nghịch đảo Drazin. Vấn đề đặt ra là liệu có mở rộng được kết quả Liu Wu và Benitez cho nghịch đảo Drazin hay không 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ MỚI GẦN ĐÂY VỀ NGHỊCH ĐẢO NHÓM Lưu ý Nếu P C n n là khả nghịch nhóm ta xác định P π In P P thì rõ ràng rằng P π là hàm lũy đẳng và P P π P π P 0. Hiển nhiên nếu P C n n là khả nghịch nhóm và c C 0 thì P π cP π Định lý . Cho A C n n . Khi đó A là khả nghịch nhóm nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận không suy biến U C n n và C C r r sao cho A U C 0 U 1 với r là hạng của A. Hay A U C 1 0 U 1 Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2013-2014 Trường Đại học Sư phạm Huế tháng 12 2013 tr. 19-30 20 NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ Định lý . Giả sử quot A B M C n n A C m m 1 0 C Khi đó i M tồn tại khi và chỉ khi A và C tồn tại