tailieunhanh - Một số tính chất của hàm số học cơ bản và áp dụng

Bài viết "Một số tính chất của hàm số học cơ bản và áp dụng" có nội dung trình bày về định nghĩa, tính chất của các hàm số học; một số hàm số học cơ bản; các bài tập ứng dụng tương tự; . Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ HỌC CƠ BẢN VÀ ÁP DỤNG Hoàng Tuấn Doanh THPT Chuyên Hưng Yên 1 Tính chất của các hàm số học Định nghĩa 1 Hàm số học . Hàm số học là hàm số có miền xác định là tập các số nguyên dương và miền giá trị là tập các số phức. Ví dụ 1. a Hàm d n đếm các ước khác nhau của một số tự nhiên n 1 là hàm số học. b Hàm phi-Euler ϕ n là hàm số học. 1 nếu n 1 c Hàm δ Z C δ n là hàm số học. 0 nếu n 2 d Hàm O Z C O n 0 là hàm số học. Định nghĩa 2. Cho hai hàm số học f và g. a Ta định nghĩa tổng của f và g là hàm số học được xác định như sau f g n f n g n n N . b Ta định nghĩa tích của f và g là hàm số học được xác định như sau f .g n f n .g n n N . c Tích chập Dirichle của f và g là hàm số được xác định như sau f g n f d .g n d f d g d 0 n N . d n 0 dd n Tính chất 1. Cho f và g là các hàm số học. Khi đó f g n 0 với mọi n N khi và chỉ khi hoặc f 0 hoặc g 0. Tính chất 2. Hàm số học f là khả nghịch trong A khi và chỉ khi f 1 6 0. 289 Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 2 Một số hàm số học cơ bản Tiếp theo ta xét một vài hàm số học cơ bản. Định nghĩa 3 Giá trị trung bình của hàm số học . Giá trị trung bình F x của một hàm số học f n được xác định bởi công thức F x f n x R n x với tổng tất cả các số nguyên dương n x. Đặc biệt F x 0 với x lt 1. Hàm số F x còn được gọi là hàm tổng của f . Phần nguyên của số thực x được biểu thị bởi x và có duy nhất số nguyên n thỏa mãn n x n 1. Phần thập phân của x là số thực x x x 0 1 . Định nghĩa 4. Hàm g t là hàm đơn thức trên tập I nếu tồn tại một số t0 I sao cho g t là hàm tăng với t t0 và giảm với t t0 . 5 5 1 Ví dụ 2. 2 và . 3 3 3 Mọi số thực x đều có thể viết được duy nhất dưới dạng x x x . logk t Ví dụ 3. Hàm f t là đơn thức trên nửa khoảng 1 với t0 ek . Trong giải tích t thực đã được chứng minh được mỗi hàm là đơn điệu hoặc đơn thức trên đoạn a b là khả tích. Tính chất 3. Cho f n và g n là các hàm số học. Xét hàm tổng F x f n . n x Với a và b là các số nguyên không âm và a lt