tailieunhanh - Một số bài toán về dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai

Bài viết "Một số bài toán về dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai" có nội dung trình bày về các định nghĩa và ví dụ của dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai; phương pháp xác định số hạng tổng quát của dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai; một số dạng toán về dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai; . Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP HAI Quách Thị Tuyết Nhung THPT Chuyên Hưng Yên 1 Dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai Các định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1. Dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai là dãy số cho bởi công thức un 2 aun 1 bun với mọi n 0 và a b là các hằng số thực. Ví dụ 1. Dãy số un cho bởi công thức u0 1 u1 2 1 2 u u n 1 u n n 0 n 2 3 3 là một dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai. Phương pháp xác định số hạng tổng quát của dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai Để xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai ta thực hiện như sau Xét phương trình đặc trưng của t2 at b 0. Phương trình có biệt thức a2 4b. Ta xét các trường hợp Trường hợp 1. gt 0 khi đó có hai nghiệm thực phân biệt t1 t2 . Số hạng tổng quát của có dạng un n 0 x y R. 278 Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 x y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước u0 u1 . Trường hợp 2. 0 khi đó có một nghiệm kép thực t. Số hạng tổng quát của có dạng un 1 n 0 ta qui ước 0 1 0 x y R. x y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước u0 u1 . Trường hợp 3. lt 0 khi đó có hai nghiệm phức. Thuật toán tìm số hạng tổng quát trong trường hợp này như sau Bước 1. Giải phương trình t2 at b 0 ta nhận được hai nghiệm phức a i. z . 2 Bước 2. Đặt r z là module của Z ϕ Argz ta nhận được un r n . p cos nϕ q sin nϕ với mọi p q là các số thực. Bước 3. Xác định p q theo các giá trị u0 u1 cho trước. Cách làm trên được chứng minh bằng kiến thức đại số tuyến tính. Ở đây tôi sẽ chứng minh trường hợp 1 và trường hợp 2 bằng kiến thức trung học phổ thông. Trường hợp 1. gt 0 khi đó có hai nghiệm thực phân biệt t1 t2 theo định lí Vi-et ta có t1 t2 a t1 .t2 b. Khi đó un 1 t1 t2 un t1 .t2 .un 1 . Ta có un 1 t1 un t2 un t1 un 1 t22 un 1 t1 un 2 t2n u1 t1 u0 . Như vậy un 1 t1 .un t2n u1 t1 u0 . Tương tự un 1 t2 .un t1n u1 t2 u0 . Trừ từng vế và ta có t1 t2 un u1 t2 u0 t1n u1 t1 u0 t2n .