tailieunhanh - Định lí Helly và ứng dụng

Định lí Helly là một định lí rất quan trong phần hình học tổ hợp. Định lí này cho ta một điều kiện đủ để nhận biết khi nào một họ các hình lồi có giao khác rỗng. Đối với một lớp tập hợp cụ thể như hình bình hành, đoạn thẳng thì có giảm nhẹ điều kiện của định lí Helly. Và ở đây, ta còn xét sự mở rộng của định lý, đặc biệt đối với tập hợp có thể không lồi như cung đường tròn chẳng hạn. Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 ĐỊNH LÍ HELLY VÀ ỨNG DỤNG Nguyễn Thị Tâm - Hoàng Thị Nhung - Trần Thi Hằng THPT Chuyên Hưng Yên Tóm tắt nội dung Định lí Helly là một định lí rất quan trong phần hình học tổ hợp. Định lí này cho ta một điều kiện đủ để nhận biết khi nào một họ các hình lồi có giao khác rỗng. Đối với một lớp tập hợp cụ thể như hình bình hành đoạn thẳng thì có giảm nhẹ điều kiện của định lí Helly. Và ở đây ta còn xét sự mở rộng của định lý đặc biệt đối với tập hợp có thể không lồi như cung đường tròn chẳng hạn. 1 Cơ sở lý thuyết Các định lí Helly Định lý 1 Định lí Helly trong không gian một chiều . Trên đường thẳng cho n hình lồi n 3 . Biết rằng giao của hai hình bất kì trong chúng khác rỗng. Khi đó giao của n hình lồi đã cho khác rỗng. Định lý 2 Định lí Helly trong không gian hai chiều . Cho trước n hình lồi trên mặt phẳng n 4 . Biết rằng giao của ba hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng. Khi đó giao của các hình lồi đã cho khác rỗng. Định lý 3 Định lí Helly trong không gian ba chiều . Cho trước n hình lồi trong không gian n 5 .Biết rằng giao của bốn hình bất kì trong chúng khác rỗng. Khi đó giao của các hình lồi đã cho khác rỗng. Định lý 4 Định lí Helly trong không gian n chiều . Cho trước n hình lồi trong không gian k - chiều Rk n k 1 k N . Biết rằng k 1 hình lồi bất kì trong chúng có giao khác rỗng. Khi đó giao của các hình lồi đã cho khác rỗng. Một số hệ quả của định lí Helly Hệ quả 1. Cho trước n đoạn thẳng ai bi i 1 2 3 . . . n trên cùng một đường thẳng. Khi đó giao của các đoạn thẳng này khác rỗng khi chỉ và chỉ khi giao của hai đoạn thẳng bất kỳ trong chúng khác rỗng. Chứng minh. Ta chú ý mọi tập lồi A trên đường thẳng thể hiện hoặc là đoạn thẳng hoặc là một tia hoặc là cả đường thẳng. Định lí Helly với giả thiết trong trường hợp này thực sự có ý nghĩa khi các tệp A1 A2 . . . An là những đoạn thẳng còn những trường hợp khác như trong số những tập hợp này tia và đường thẳng thì ta cũng đưa về trường hợp 205 Hội thảo khoa học .