tailieunhanh - Phương pháp đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức

"Phương pháp đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức" thực sự là một công cụ hiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán, cũng là một phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các bất đẳng thức thông thường. Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phạm Văn Dũng - Hoàng Thị Nhung THPT Chuyên Hưng Yên Cùng với các phương pháp quy nạp toán học phương pháp phản chứng phương pháp sử dụng bất đẳng thức kinh điển thì phương pháp sử dụng đạo hàm cũng là một phần kiến thức quan trọng không thể thiếu trong nhiều bài toán đại số cũng như trong bất đẳng thức. Nó thực sự là một công cụ hiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán cũng là một phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các bất đẳng thức thông thường. 1 Kiến thức cơ bản Định lý 1. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên a b . Nếu f x 0 x a b thì f x đồng biến trên a b và khi đó ta có min f x f a max f x f b x a b x a b Nếu f x 0 x a b thì f x nghịch biến trên a b và khi đó ta có min f x f b max f x f a x a b x a b Định lý 2 Định lý Fermart . Giả sử hàm số y f x xác định trên một lân cận đủ bé của x0 a b và có đạo hàm tại điểm x0 . Khi đó nếu hàm số y f x đạt cực trị tại x0 thì f 0 x0 0. Định lý 3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị . Cho hàm số y f x xác định trên a b và x0 . Trong một lân cận đủ bé ε của x0 nếu f 0 x0 thay đổi dấu khi x qua x0 có thể không tồn tại f 0 x0 thì f x đạt cực trị tại x0 . Nếu f 0 x lt 0 x x0 ε x0 và f 0 x gt 0 x x0 x0 ε thì x0 là điểm cực tiểu. Nếu f 0 x gt 0 x x0 ε x0 và f 0 x lt 0 x x0 x0 ε thì x0 là điểm cực đại. Định lý 4. Giả sử y f x xác định trên a b và x0 a b . Trong một lân cận đủ bé ε của x0 hàm số y f x có đạo hàm cấp hai liên tục đồng thời f 0 x0 0 và f 00 x 6 0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số. Nếu f 0 x0 0 và f 00 x gt 0 thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số. Nếu f 0 x0 0 và f x lt 0 thì x0 là một điểm cực đại của hàm số. 90 Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 Định lý 5. Nếu f là hàm lồi trên đoạn a b thì ta có f x max f a f b với mọi x a b hay nói một cách khác giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn a b sẽ đạt được tại hai đầu mút của đoạn a b . Tương tự nếu f là hàm lõm trên đoạn a b thì giá trị nhỏ nhất của