tailieunhanh - Xung quanh một bài toán thi IMO

Bài viết "Xung quanh một bài toán thi IMO" đưa ra ví dụ về một dạng toán trong bài thi IMO và các cách chứng minh bài toán trên bằng phương pháp sử dụng các bất đẳng thức số học khác nhau. Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 XUNG QUANH MỘT BÀI TOÁN THI IMO Vũ Tiến Việt Học viện An ninh nhân dân Với tam giác ABC ta ký hiệu - Các góc A B C - Các cạnh a BC b CA c AB - Các đường cao h a hb hc - Các trung tuyến m a mb mc - Các phân giác la lb lc - Bán kính đường tròn nội tiếp ngoại tiếp r R - Nửa chu vi p 12 a b c - Diện tích S Năm 1961 kỳ thi IMO tại Budapest - Hungary có bài toán số 2 sau1 Cho a b c là độ dài các cạnh và S là diện tích của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 gt 4 3S . Khi nào thì xảy ra dấu Chứng minh. Cách 1. Ta có p a p b p c p q 3 p a p b p c 6 3 3 p3 p a p b p c 6 27 Suy ra p4 S2 p p a p b p c 6 27 p 2 a b c 2 a b c2 2 ab bc ca 2 2 S6 3 3 12 3 12 3 a2 b2 c2 6 4 3 Dẫn đến bất đẳng thức cần phải chứng minh. 1 Bài toán này do R. Weitzenbock đưa ra năm 1919. 49 Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 Dễ thấy dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Theo chứng minh trên ta còn thấy a2 b2 c2 2 ab bc ca S6 12 3 12 3S 6 a2 b2 c2 2 ab bc ca 12 3S 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 6 3 a2 b2 c2 12 3S a b 2 b c 2 c a 2 6 3 a2 b2 c2 2 2 2 1h 2 2 2 i a b c gt 4 3S a b b c c a 1 3 Cách 2. Ta chứng minh bất đẳng thức quot mạnh quot hơn 2 2 1h 2 2 2 2 i a b c gt 4 3S a b b c c a 2 2 Thật vậy ta thấy 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a b 2 b c 2 c a 2 1 1 1 4S a b 2 b c 2 c a 2 sin A sin B sin C 1 Dễ thấy hàm f x sin x là hàm lồi trên 0 π nên ta được f A f B f C A B C π 2 gt f f 3 3 3 3 Từ đó ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh. Dễ thấy dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Cách 3. Ta dễ dàng thấy 1 1 1 2 2 2 a b c gt ab bc ca 2S sin A sin B sin C Đến đây theo cách 2 ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh. Dễ thấy dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Theo chứng minh này ta còn có bất đẳng thức ab bc ca gt 4 3S 3 Năm 1938 P. Finsler và H. Hadwiger nêu ra bất đẳng thức quot mạnh quot hơn các bất đẳng thức Weitzenbock và 1 2 như sau Với mọi tam giác ta có a2 b2 c2 gt 4 3S a b 2 b c 2 c a 2 4 50 Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 Chứng .