tailieunhanh - Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa; Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao; Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange. Mời các bạn cùng tham khảo! | Chương 5 Dạng Toàn Phương Dạng Toàn phương - Định nghĩa Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực f R n R X x1 x2 . xn R n f X X T A X trong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở chính tắc x1 2 3 Ví dụ. Cho x A x2 3 4 Khi đó ta có dạng toàn phương trong R2 T 2 3 x1 2 2 x Ax x1 x2 x 2 x1 6 x x 1 2 4 x2 3 4 2 Dạng Toàn phương - Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở dạng f x f x 1 x 2 x 3 A x12 B x 22 C x32 2 Dx 1x 2 2 Ex 1x 3 2Fx 2x 3 Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứng A D E M D B F E F C Khi đó f x có thể viết lại f x f x 1 x 2 x 3 A D E x1 x1 x2 x3 D B F x2 x T M x E F C x 3 Dạng Toàn phương - Ví dụ. x1 x x 2 R 3 x 3 f x 3x12 2 x22 4 x32 4 x1x2 6 x1x3 2 x2 x3 Viết ma trận của dạng toàn phương. Giải 3 2 3 A 2 2 1 3 1 4 3 2 3 x1 f x xT Ax x1 x2 x3 2 2 1 x2 3 1 4 x 3 Dạng Toàn phương - Cho dạng toàn phương f x xT Ax với x x1 x2 x3 T Vì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D A PDP T Khi đó f x x T PDP T x P T x T D P T x Đặt y P T x x Py Ta có f y y T Dy 1 0 0 y1 f y y1 y2 y3 0 2 0 y2 0 0 3 y 3 f y f y 1 y 2 y 3 1 y 12 2 y 22 3 y 32 Dạng Toàn phương - Định nghĩa Dạng toàn phương f y y T Dy được gọi là dạng chính tắc của dạng toàn phương f x x T A x Dạng chính tắc là dạng toàn phương có các số hạng là các bình phương. Ma trận A là ma trận của dạng toàn phương f x x T A x trong cơ sở chính tắc. Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương f x x T A x trong cơ sở tạo nên từ các cột của ma trận trực giao P. Khi làm việc với dạng toàn phương ta có thể làm việc với ma trận A cũng có thể làm việc với ma trận D. Tất nhiên ma trận D có cấu trúc đơn giản hơn. Dạng Toàn phương - Dạng toàn phương f x x T A x luôn luôn có thể đưa về dạng chính tắc f y y T Dy bằng cách chéo hóa trực giao ma trận A của dạng toàn phương. Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. Còn có nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương