tailieunhanh - Bài giảng Đại số tuyến tính: Phần 2 - Huỳnh Hữu Dinh

Tiếp nội dung phần 1, Bài giảng Đại số tuyến tính: Phần 2, cung cấp cho người học những kiến thức như: Ánh xạ tuyến tính; dạng song tuyến tính và dạng toàn phương. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung bài giảng! | Chương 4 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa và các tính chất căn bản Định nghĩa . Cho hai không gian vector V V0 . Ánh xạ f W V V0 được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu hai điều kiện sau đây được thỏa f .X C Y D f .X C f .Y I 8X Y 2 V. f . X D f .X I 8 2 R 8X 2 V. Ví dụ . Ánh xạ f W R2 R2 .x y 7 .x C y x y là một ánh xạ tuyến tính. Thật vậy ta lấy hai vector X Y 2 R2 giả sử X D .x1 x2 và Y D .y1 y2 khi đó f .X C Y D f .x1 C y1 x2 C y2 D .x1 C y1 C x2 C y2 x1 C y1 x2 y2 Mặt khác f .X C f .Y D .x1 C x2 x1 x2 C .y1 C y2 y1 y2 D .x1 C y1 C x2 C y2 x1 C y1 x2 y2 153 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Từ đây suy ra f .X C Y D f .X C f .Y 8X 2 R2 . Hơn nữa với mọi 2 R và mọi X 2 R2 ta có f . X D f . x1 x2 D . x1 C x2 x1 x2 D f .X Vậy f là một ánh xạ tuyến tính. Ví dụ . Ánh xạ f W R3 R3 .x y z 7 .x C y C x x y C 3z x z cũng là một ánh xạ tuyến tính chứng minh tương tự như ví dụ Tính chất Sau đây là một số tính chất của ánh xạ tuyến tính mà ta có thể suy ra trực tiếp từ định nghĩa 1. f .0V D 0V0 . 2. f . X D f .X I 8X 2 V. 3. Hai điều kiện trong định nghĩa có thể thay thế bằng điều kiện tương đương sau f . X C ˇY D f .X C ˇf .Y I 8X Y 2 V 8 ˇ 2 R Các tính chất 1 2 và 3 thường được sử dụng để chứng tỏ hay bác bỏ một ánh xạ có là ánh xạ tuyến tính. Ta xét một vài ví dụ sau đây Ví dụ . Cho không gian vector V ánh xạ đồng nhất I dV W V V X 7 X là một ánh xạ tuyến tính. Thật vậy 8X Y 2 V 8 ˇ 2 R ta có I dV . X C ˇY D X C ˇY D I dV .X C ˇI dV .Y 154 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ví dụ . Ánh xạ f W Pn Œx Pn Œx p .x 7 p 0 .x là một ánh xạ tuyến tính. Thật vậy 8p .x q .x 2 Pn Œx 8 2 R ta có f . p .x C ˇq .x D . p .x C ˇq .x 0 D p 0 .x C ˇq 0 .x D f .p .x C ˇf .q .x Ví dụ . Ánh xạ f W R3 R2 .x y z 7 .2x y C 3z x y C 5z C 1 không là ánh xạ tuyến tính vì f .0R3 D f .0 0 0 D .0 1 0R2 . Định lý . Cho ánh xạ tuyến tính f W V V0 và W là một không gian vector con của V khi đó Tập hợp f .W D ff .X W X 2 Wg là một không gian vector .