tailieunhanh - Về một bài toán hình học từ diễn đàn AOPS

Bài viết này là về một bài toán trên diễn đàn AoPS và trình bày các ứng dụng của nó với các công cụ hình học thuần túy. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này. | VỀ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỪ DIỄN ĐÀN AO PS TRẦN QUANG HÙNG NGUYỄN BẢO NGỌC Trường THPT Chuyên KHTN ĐHKHTN ĐHQG Hà Nội Tóm tắt Bài viết này là về một bài toán trên diễn đàn AoPS và trình bày các ứng dụng của nó với các công cụ hình học thuần túy. 1. Mở đầu Trên diễn đàn AoPS có một bài toán rất thú vị như sau ký hiệu của bài toán đã được sửa lại để phù hợp hơn với bài viết Bài toán 1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O . Gọi H là giao điểm của hai đường cao BE CF AH cắt O tại D khác A DE cắt O tại G khác D. Chứng minh rằng BG chia đôi EF . Lời giải sau là ý tưởng của Jeck Lim nick name là oneplusone trên diễn đàn AoPS. G A E M O F H B K C D 193 Tạp chí Epsilon Số 03 06 2015. Lời giải. Gọi K là giao điểm của AH và BC. Ta dễ dàng chứng minh được K là trung điểm của HD và hai tam giác EF B và EHK đồng dạng. Gọi M là trung điểm của EF ta có EF BF EF BF hay HE HK 2HE 2HK hay FM BF . HE HD Kết hợp với điều kiện BF M DHE ta suy ra hai tam giác BF M và DHE đồng dạng. Do đó F M B HDE F BG. Vậy B M G thẳng hàng. Ta có điều phải chứng minh. Nhận xét. Việc dùng kỹ thuật đồng dạng quot gấp đôi và chia đôi cạnh quot trong lời giải bài toán trên rất hay nó giúp chúng ta có nhiều cách để phát triển và mở rộng bài toán này. 2. Các mở rộng Trong bài toán trên E F chính là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với các cạnh CA AB. Vậy chúng ta thử thay đường tròn đường kính BC thành một đường tròn bất kỳ ta sẽ có bài toán sau Bài toán 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O . Một đường tròn K qua B C cắt AC AB lần lượt tại E F BE giao với CF tại H AH cắt O tại P khác A P E cắt O tại R khác P . Chứng minh rằng BR chia đôi EF . Lời giải. Gọi D là hình chiếu của K lên AH. Lấy điểm N đối xứng với F qua DK. Suy ra N thuộc K . Vì BCP BAP BF N BCN nên C P N thẳng hàng. Gọi AH cắt BC tại L và Q đối xứng với P qua D. Ta có F QA QF N F N C AP C ABC nên tứ giác BF QL nội tiếp. 194 Tạp chí Epsilon Số 03 06 2015. R A E I F Q H O D K B L C N P Tương tự như trên tứ giác CEQL nội tiếp