tailieunhanh - Về hai bài hình trong kỳ thi IMO 2015

Bài viết "Về hai bài hình trong kỳ thi IMO 2015" sẽ giải quyết và đưa ra các ý tưởng mở rộng cùng nhiều ứng dụng cho các đề hình học thi IMO năm 2015. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này. | VỀ HAI BÀI HÌNH TRONG KỲ THI IMO 2015 Trần Quang Hùng Trường THPT chuyên KHTN ĐH KHTN Hà Nội Tóm tắt Bài viết giải quyết và đưa ra các ý tưởng mở rộng cùng nhiều ứng dụng cho các đề hình học thi IMO năm 2015. 1. Bài hình ngày thứ nhất . Mở đầu Đề thi IMO ngày thứ nhất năm 2015 1 có bài hình học như sau Bài toán 1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn .O với trực tâm H đường cao AF và M là trung điểm BC Đường tròn đường kính HA cắt .O tại Q khác A Đường tròn đường kính HQ cắt .O tại K khác Q Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác KHQ và KFM tiếp xúc nhau. Lời giải thứ nhất. Vẽ đường kính AE và QR của .O L N lần lượt là trung điểm HR QA Dễ thấy Q H M E thẳng hàng. Từ đó suy ra ML k ER k QA và 1 1 ML D ER D QA D NQ 2 2 nên NQML là hình bình hành. Do đó LN QA Từ đó ta được LA D LQ Mặt khác ML k QA nên ML tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp 4LAQ tại L .1 Mà HA HF D HK HL D HQ HM nên phép nghịch đảo tâm H phương tích HA HF biến M Q L 7 K A 7 F Q 7 M 109 Tạp chí Epsilon Số 04 08 2015 A N Q O R L K H M B F C E Do đó từ .1 kết hợp với phép nghịch đảo tâm H suy ra đường tròn ngoại tiếp 4KHQ 4KFM tiếp xúc nhau. Lời giải thứ hai. Gọi AE là đường kính của .O và D đối xứng H qua BC thì D nằm trên .O Dễ thấy Q H M E thẳng hàng. Gọi tiếp tuyến tại K H của đường tròn ngoại tiếp tam giác KHQ cắt nhau tại X Ta có KXH D 180ı 2 KHX D 180ı 2 KQH D KQH D KAE D 2 AEK D 2 KDH Lại có XK D XH từ đó X là tâm ngoại tiếp tam giác KDH Do BC là trung trực HD nên X nằm trên BC Từ đó theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có XK 2 D XH 2 D XF XM 110 Tạp chí Epsilon Số 04 08 2015 A Q O K H M B X F C D E Hay XK là tiếp tuyến chung của đường tròn ngoại tiếp tam giác KQH và KFM hay hai đường tròn này tiếp xúc nhau tại K. Lời giải thứ ba. Gọi đường thẳng qua M vuông góc với QM cắt KH tại D A Q L O Z N D K H B F C T M Gọi L Z là trung điểm của HQ HK thì L Z nằm trên đường tròn Euler .N mà M cũng thuộc .N nên N là trung điểm LD N cũng là trung điểm OH nên OD k LH QA Từ đó có